Floyd

一、算法的特点

求任意两个顶点之间的最短路径
可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题
同时也被用于计算有向图的传递闭包。

二、算法的思路

1、通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入两个矩阵，
2、矩阵D中的元素a[i][j]表示顶点i到顶点j的距离。
3、矩阵P中的元素b[i][j]，表示顶点i到顶点j经过了b[i][j]记录的值所表示的顶点。
4、初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞
矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。
5、第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]
6、循环n次

三、Floyd算法的实例过程

例图

第一步：初始化a[i][j]和b[i][j]

图片来自Ouyang_Lianjun

第二步：以v1为中间点，更新两个矩阵

发现，a[1][0]+a[0][6] < a[1][6] 和a[6][0]+a[0][1] < a[6][1]，所以我们只需要矩阵D和矩阵P，结果如下：


通过矩阵P，我发现v2–v7的最短路径是：v2–v1–v7

第三步：以v2为中间点，更新两个矩阵

Floyd算法每次都会选择一个中间点，然后，遍历整个矩阵，查找需要更新的值，最后得出结果

四、基本模板

时间复杂度是 O(n3), nn 表示点数

初始化：
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )

> `这里是引用`

        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/
来源：AcWing

五、经典例题

AcWing 854. Floyd求最短路
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定k个询问，每个询问包含两个整数x和y，表示查询从点x到点y的最短距离，如果路径不存在，则输出“impossible”。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，k

接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

接下来k行，每行包含两个整数x，y，表示询问点x到点y的最短距离。

输出格式
共k行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出“impossible”。

数据范围
1≤n≤200,
1≤k≤n2
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;//初始化

    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c); //注意保存最小的边
    }

    floyd();

    while (Q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");//由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
        else printf("%d\n", t);
    }

    return 0;
}