最短路径算法——弗洛伊德（Floyd）算法

概述

在这篇博客中我主要讲解最短路径算法中的Floyd算法，这是针对多源最短路径的一个经典算法。对于单源最短路径算法请详见我的另一篇博客：最短路径算法（上）——迪杰斯特拉（Dijikstra）算法

弗洛伊德（Floyd）算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

算法思想与过程

（一）算法思想：
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）。

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，一是直接从i到j，二是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

（二）算法过程
1）首先把初始化距离dist数组为图的邻接矩阵，路径数组path初始化为-1。其中对于邻接矩阵中的数首先初始化为正无穷，如果两个顶点存在边则初始化为权重 　　
2）对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是就更新它。
状态转移方程为
如果 dist[i][k]+dist[k][j] < dist[i][j]
则dist[i][j] = dist[i][k]+dist[k][j]

//Floyd算法(多源最短路径算法) 
bool Floyd(){
	for(int k = 1 ; k < this->Nv+1 ; k++){	//k代表中间顶点 
		for(int i = 1  ; i < this->Nv+1 ; i++){//i代表起始顶点 
			for(int j = 1 ; j < this->Nv+1 ; j++){//j代表终点 
				if(this->dist[i][k] + this->dist[k][j] < this->dist[i][j]){
					this->dist[i][j] = this->dist[i][k] + this->dist[k][j];
					if(i == j && this->dist[i][j] < 0){//发现了负值圈 
						return false;
					}
					this->path[i][j] = k;
				}					
			}
		}
	}
	return true; 
}

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例子

我们用如下图结构来演示Floyd算法：

全部代码为：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

const int MAX = 65535;

class Graph{
private:
int** G; // 邻接矩阵
int** dist; // 距离数组
int** path; // 路径数组
int Nv; // 顶点数
public:
//构造函数
Graph(int nv, int ne){
this->Nv = nv;
G = new int*[nv+1];
dist = new int*[nv+1];
path = new int*[nv+1];
for(int i = 0 ; i < nv+1 ; i++){
G[i] = new int[nv+1];
dist[i] = new int[nv+1];
path[i] = new int[nv+1];
memset(path[i],-1,sizeof(path[0][0])*(nv+1));
for(int j = 0 ; j < nv+1 ; j++){
this->G[i][j] = this->dist[i][j] = MAX;
}
this->G[i][i] = this->dist[i][i] = 0;
}
cout<<“请输入边与权重:”<<endl;
for(int i = 0 ; i < ne ; i++){
int v1,v2,weight;
cin>>v1>>v2>>weight;
this->G[v1][v2] = this->G[v2][v1] = weight;
this->dist[v1][v2] = this->dist[v2][v1] = weight;
}
}

	//Floyd算法(多源最短路径算法) 
	bool Floyd(){
		for(int k = 1 ; k < this->Nv+1 ; k++){	//k代表中间顶点 
			for(int i = 1  ; i < this->Nv+1 ; i++){//i代表起始顶点 
				for(int j = 1 ; j < this->Nv+1 ; j++){//j代表终点 
					if(this->dist[i][k] + this->dist[k][j] < this->dist[i][j]){
						this->dist[i][j] = this->dist[i][k] + this->dist[k][j];
						if(i == j && this->dist[i][j] < 0){//发现了负值圈 
							return false;
						}
						this->path[i][j] = k;
					}					
				}
			}
		}
		return true; 
	}
	
	// 分治法寻找start到end最短路径的中间结点 
	void Find(queue<int> &q ,int start,int end){
		int mid = this->path[start][end];
		if(mid == -1){
			return;
		}
		Find(q,start,mid);
		q.push(mid);
		Find(q,mid,end);
	}

	//打印start顶点到end顶点的路径 
	void Print_Path(int start,int end){
		queue<int> queue;
		queue.push(start);
		this->Find(queue,start,end); 
		queue.push(end);
		cout<<queue.front();
		queue.pop();
		while(!queue.empty()){
			cout<<"->"<<queue.front();
			queue.pop();
		}
		cout<<endl;
	}
	
	void Print_Floyd(){
		int i,j,k;
		for(int i = 1 ; i < this->Nv+1 ; i++){
			for(int j = 1 ; j < this->Nv+1 ; j++){
				cout<<this->path[i][j]<<" ";
			}
			cout<<endl;
		} 
		cout<<"	length		path"<<endl; 
		for(i = 1 ; i < this->Nv+1 ; i++){
			for(j = i+1 ; j < this->Nv+1 ; j++){
				cout<<i<<"->"<<j<<"	";
				cout<<this->dist[i][j]<<"		"; 	
				this->Print_Path(i,j);
			}
			cout<<endl;
		}
	}

};

int main()
{
cout<<“请输入顶点数与边长数:”<<endl;
int nv,ne;
cin>>nv>>ne;
Graph graph(nv,ne);
if(graph.Floyd()){
cout<<“各个顶点的最短路径为：”<<endl;
graph.Print_Floyd();
}

return 0;

}

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截图如下：

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