Dijkstra算法求最短路径问题

                                                                                                    ——HM

    图论中最常见的问题就应是最短路径问题了，解决这一问题的几个基本算法有三个：Floyed、Dijkstra和SPFA了。现在我来浅谈一下Dijkstra的思想与实现。

     单纯的Dijkstra并不是很快，算一个点到其余各点的时间复杂度是O(n^2)级别，算每个点到其余各点的复杂度就是O(n^3)了，在提高组竞赛中不占优势，但其进行优化后便很强大了，如用堆优化Dijkstra可以将其复杂度降到O((M+N)logM)了（一说O(MlogM)）,可谓强大。

       那现在我们先放下偏见，了解一下最简单的Dijkstra算法。

      这个算法是用了动态规划和贪心的思想，即按照从源点到其余每一顶点的最短路径长度的升序，依次求出从源点到各顶点的最短路径及长度。

       看不懂是吧，我用图来解释。

       假设有一个有向图如下：

      

	1	2	3	4	5
s	1	0	0	0	0
dist	0	3	INF	INF	30
path	v1	v1,v2			v1,v5

    下面开始进行第一次运算，求出从源点v1到第一个终点的最短路径。首先从s元素为0的对应dist元素中，找出值最小的元素，求得dist[2]的值最小，所以第一个终点为v2，最短路径为path[2]=<v1,v2>，最短距离为dist[2]=3.

    接着把s[2]置为1，表示v2已加入S集合中。然后，以v2为新考虑的中间点，对s元素为0的每个顶点vj（此时3≤j≤5）的目前最短路径长度dist[j]和目前最短路径path[j]进行必要的修改.因dist[2]+GA[2,3]=3+25=28，小于dist[3]=∞，所以将28赋给dist[3]，将path[2]并上v3后赋给path[3].

    同理，因dist[2]+GA[2,4]=3+8=11，小于dist[4]= ∞，所以将11赋给dist[4]，将path[2]并上v4后赋给path[4]，最后再看从v1到v5，以v2作为新考虑的中间点的情况。

    由于v2到v5没有边，故GA[2,5]= ∞，因而dist[2]+GA[2,5]不小于dist[5]，因此，dist[5]和path[5]无需修改，应维持原值。

      至此，第一次运算结束，三个一维数组的当前状态为：

	1	2	3	4	5
s	1	1	0	0	0
dist	0	3	15	11	23
path	v1	v1,v2	v1,v2,v3	v1,v2,v4	v1,v5

   dist数组就是单点到每个点的最短路径。

最后上代码：

#include <iostream>
#define now dist[m]+ga[m][j]
#define SIZE 10005
using namespace std;

void clear();

int n,e,w,str,maxv=0,m;
int dist[SIZE],ga[SIZE][SIZE],s[SIZE];

int main()
{
	cin>>n>>e;
	for (int i=1;i<=e;i++){
	    int x,y;
	    cin>>x>>y>>w;
	    ga[x][y]=w;
	}
	
	cin>>str;
	
	for (int i=1;i<=n-2;i++){
		w=maxv;
		m=str;
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (s[j]==0 && dist[j]<w){
			    m=j;
			    w=dist[j];
			}
		s[m]=1;
		for (int j=1;j<=n;j++)
		    if (s[j]=0 && now<dist[j])
	                dist[j]=now;
	}
	
	for (int i=1;i<=n;i++)
	    cout<<dist[i]<<' ';
	
	return 0;
}

void clear()
{
	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (i!=str) s[i]=0; 
		else	    s[i]=1;
		dist[i]=ga[str][i];
	}
}

    谢谢观看。