单源最短路径---Dijkstra算法

有这样一道题：在一个图（如图所示）中，一共有四个点：1 2 3 4

这四个点之间各有相连，且每条边都有自己的权值。现在小明在点1上，

他想要到3去，请问最短路径是多少。

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很容易得到该图的邻接矩阵。我们建立一个二维数组a。a[i][j]，i表示
起点，为行，j表示终点，为列。将相应的权值传入其中，如果从一个
点到另一个点不通，就认为其权值为无限

例如（1-》2）为2，则a[1][2]=2；
而因为2到1不通，就令a[2][1]=∞；
另外a[1][1]之类的起点终点相同的都设为了0；

对这种求点i到点j的最短路径的问题，很难直接求得。通常是要多求一
些多余的量才能得到结果。因为我们必须要做好遍历全图的准备才能比
较或是寻找出其最短路径。

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这时候我们来介绍两种算法：

• 一种是Dijkstra算法单源最短路径算法；
• 一种是Floyd多元路径最短算法；

今天只说单源最短路径算法
所谓单源，即求从一个点出发，到其他各点的最短路径，也就是说
如果这个图有n个点，我们要求n-1个路径。
对一个图G来说，它的点集为V，我们要做的就是求出从起点v到V中其
余各点的最短路径。

首先介绍单源最短路径的核心算法：
　起点是v，我们知道在整个图中，以v为起点的路径有很多条，有长的。有短的；有的简单，只有一段弧，只有两个点：起点。终点。有的复杂，有好几段弧，起点终点之间隔了好几个节点。
　我们要做的就是先找到所有这些从v引出的路径中的最短的那一条（v，…，j1）。
　然后通过某种算法（下文中将会介绍）再找出仅长于最短路径的次短路径(v，…，j2)，找到以后，（注意：我们把每一次找到的次短路径的终点记录下来，如果下一次找寻的时候遇到以这些点为终点的路径就忽略掉），再找下一条次短路径，再找，再找……
　　这里有一个辨析：

按照上述步骤，我们依次找到了整张图中（具有不同终点的）最短的几条路径：
（v,…，j1）  (v,…，j2)   (v,…，j3)  ……  (v,…，j) ……

这里，如果我们称图中所有以v为起点 以j为终点的路径为j族，那么我们每找到一条次短路径 （v，…，j），这条路径（v，…，j）一定是j族中最短的那条。
为什么呢？按照我们的找法，我们实际上是把整张图里的所有以v为起点的路径按照从短到长的顺序排列起来，然后从第一条路径开始往后检索，如果我们从前到后查找时第一次遇到了以j为终点的路径，记为路径1，接下来往后，我们遇到的每一条属于j族的路径都忽略，从而我们得到了之前的序列。显然路径1就是j族中最短的那一条，也是我们的目标路径之一。

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我们 所要求的是点v到其余各点的最短路径，其余各点有n-1个，也就是说，我们有n-1个终点，对应n-1个族。对每个族，都有一个对应的最短路径。我们要做的就是求出每个族的最短路径。

之前说到，我们要把每一次找到的次短路径的终点记录下来，下一次遇到的时候就忽略掉，这可以保证最终的得到的序列都属于不同的族，我们可以建立一个点集S,每找到一条次短路径，就将其终点并入集合S中，下一次找寻路径的时候拿终点与点集S对比，决定是否保留。

就这样，每一次我们都找到一个以j为终点的最短路径，而每一次的终点j又都不同，当找了n-1次时，就完成了单源最短路径查找。

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我们已经了解完了整体的思路，所以现在的关键性问题就是如何完成对次短路径的查找。也就是上文中提到的某种算法，它到底是什么呢？

• 第一步：

  　　一个图中有许多条路径，我们现在在图G中找到以v为起点的最短的那一条路径（v，j）。显然我们可以很容易的的发现，这条最短路径一定是与起点v直接相连的弧，j是v的邻结点。如图所示；
  　　

• 第二步：
  　接下来，我们来找次短路径，也就是以v为起点的下一条最短的路径。如图所示我们会发现，次短路径要么是弧（v，k）（注：k是v相邻的点，除j外），要么是弧（v，j，k）(k是j紧邻的点)。
  　这样，我们通过比较可以求出最短的那一条路径（v，k）;

然后我们就会猜想，如果按照第二步的做法一直重复下去，不就能依次找到次短路径了吗？
但是，事实上，当我们尝试之后会发现，随着不断地重复查找次短路径的过程，我们不能单纯的像第二次查找那样，因为每一次的查找都会衍生很多分支。使得查找变得复杂。

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怎么解决这个问题呢？为了方便理解我引入了一个观测域的概念。

首先看一些定义：

• 点集Ｖ　图中所有点的集合
• 点集S 　已经找到相应最短路径的终点集合
• 数组Ｄ［ｎ］　存储观测域内能观测到的最短路径，算上起点一共ｎ个数值 。比如D[k]对应在观测域中能观测到的，k族中的最短路径。
• 邻接矩阵ａ［ｎ］［ｎ］　　存储着相应的权值

如图所示：刚开始时，我立足于ｖ点，观测域为ｖ点的四周，即ｖ的所有邻接点。由邻接矩阵ａ，更新数组Ｄ。此时D中的数为（ｖ，ｋ）的权值（ｋ为ｖ的邻接点）。
　

随后，我在我观测域中找寻最短的那一条路径（ｖ，ｊ）也就是查找数组Ｄ中最小的数，并将ｊ收入集合Ｓ中。

如图所示：现在我想找次短路径，现在我清楚，这条次短路径要么是（ｖ，ｋ）（ｋ为观测域中的点，但不属于Ｓ）的最短边，要么是通过ｊ点的弧（ｖ，ｊ，ｋ）（ｋ为ｊ的邻接点，但不属于S）的最短边。

我们干脆将ｊ的邻接点全都纳入观测域，同时更新数组Ｄ，通过数组D找出次短边（ｖ,ｊ），再将ｊ压入S中。

不断重复该步骤，直到所有的点都入了Ｓ，就完成了查找，这时数组D
Ｄ［ｋ］就是从ｖ到ｋ的最短路径的长度。如果你想知道具体的路径时只需加个栈就行了。

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所以完整的步骤是这样的：

• 第一步：
  初始化点集Ｓ，将起点ｖ收入Ｓ中。初始化数组Ｄ：Ｄ[k]=a[v][k];

• 第二步：找寻次短路径。即查找数组D找出观测域中最短路径（v，j）：D[j]=min(D[k]|k不属于S)。将j压入点集S中

• 第三步：将j的邻接点并入观测域，即用j的邻接点更新数组D：

   如果D[k]>D[j]+a[j][k]     (k为j邻接点，k不属于S)
   令D[k]=D[j]+a[j][k]
   如果D[k]>D[j]+a[j][k]     (k为j邻接点，k不属于S)
   就不做操作
  

然后不断重复第二步和第三步直到找到全部节点为止。

具体实现为：

#include<iostream>
using namespace std;
#define BUTONG 1000000          //  无限大为不通 
#define NUM 4      //d点数为4 
int a[NUM][NUM]={
        0,2,6,4,
        BUTONG,0,3,BUTONG,
        7,BUTONG,0,1,
        5,BUTONG,12,0
    };
#define OK 1
#define ERROR 0                 
typedef int status;

bool finish(bool *S,int n)          //是否完成 找寻 
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(!S[i])
        return false;
    }
    return true; 
}

status djs(int n,int t)//a 为数组 n 为点的个数，v为起始点 
{
    //初始化数组v
    int D[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    D[i]=a[t][i];
    D[t]=0;
    //初始化已访问数集S;
    bool S[n];

    for(int i=0;i<n;i++)
    S[i]=false;

    S[t]=true;

    int j=0;
        int min=BUTONG;

    while (!finish(S,n))
    {   j=0;
        min=BUTONG;

        for(int i=0;i<n;i++)        //找到观测域中最短路径（v,j） 
        {
            if(S[i]) continue;

            if(min>D[i]) 
            {min=D[i];j=i;}     
        }   

        S[j]=true;      //将j纳入点集S中 

        for(int i=0;i<n;i++)        //更新观测域 
        {
            if(S[i]) continue;
            if(D[i]>D[j]+a[j][i])
            D[i]=D[j]+a[j][i];      
        }


    }

    for(int i=0;i<n;i++)                //输出 
    {
        printf("最短路径是（v,%d）长度是%d\n",i,D[i]);
    }
    return OK; 
}
int main()
{

    djs(NUM,1);
    return 0;

}