Dijkstra算法---单源最短路径
程序员文章站
2024-03-16 14:00:28
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本文是对《啊哈!算法》学习过程的记录与总结。
Floyd | Dirjkstra | Bellman-Ford | 队列优化的Bellman-Ford | |
空间复杂度 | O(N**2) | O(M) | O(M) | O(M) |
时间复杂度 | O(N**3) | O((M+N)log N) | O(NM) | 最坏情况:O(NM) |
使用情况 | 稠密图和顶点关系密切 | 稠密图和顶点关系密切 | 稀疏图和边关系密切 | 稀疏图和边关系密切 |
负权 | 可以解决负权 | 不能解决负权 | 可以解决负权 | 可以解决负权 |
有负权边 | 可以处理 | 不能处理 | 可以处理 | 可以处理 |
判定是否存在负权回路 | 不能 | 不能 | 可以判定 | 可以判定 |
Dirjkstra(迪科斯彻)算法使用了广度优先搜索解决赋权单源最短路径问题,最大的弊端是它无法处理带有负权边以及负权回路的图,但它具有良好的可扩展性,扩展后可以适应很多问题。另外用堆优化的Dijkstra算法的时间复杂度可以达到(MlogN)。
算法的思路:
1、将所有的顶点分为两部分:已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始,已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book数组来记录哪些点在集合P中。
2、设置源点s到自己的最短路径为0(dis[0]=0),若存在有源点能直接到达的顶点i,则把dis[i]设为e[s][i] , 同时把其他所有(源点不能直接到达的)顶点的最短路径设为INF。
3、在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u(即dis[u]最小),加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边,对每一条边进行松弛操作。
4、重复第3步,如果集合Q为空,算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
重点:
1、在未被确定最短路径的点中 找出离原点最近的点u(此时dis[u]从“估计值”变成“确定值”)
2、对点i的所有出边进行松弛
求出每个顶点与源点(1)的最短距离
要求输入:
6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4
要求输出:
0 1 8 4 13 17
//Dijkstra算法
#include<iostream>
#define INF 99999999
int main()
{
int e[6][6], dis[6], book[6] = {0},i, j, u, m, n, a, b, c,min;
//输入城市个数,道路个数
std::cin >> n >> m;
//初始化道路信息
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
if (i == j)
e[i][j] = 0;
else
e[i][j] =INF;
//导入道路信息
for (i = 1; i <= m; i++)
{
std::cin >> a >> b >> c;
e[a][b] = c;
}
for (i = 1; i <= n; i++)
dis[i] = e[1][i];
//第一个城市
book[1] = 1;
//算法核心:循环松弛,n个数,1不需要,所以是n-1次循环
for (i = 1; i <= n-1; i++)
{
//先找出距离源点最短的点
min = INF;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (dis[j] < min && book[j]==0)
{
min = dis[j];
//用u记录里源点最近的点
u = j;
}
}
//u从估计值变成确定值
book[u] = 1;
for (j = 1; j <= n; j++)
if(e[u][j]<INF && dis[j]>dis[u]+e[u][j])
{
dis[j] = dis[u] + e[u][j];
}
}
//输出
for (i = 1; i <= n; i++)
std::cout << dis[i] << " ";
system("pause")
return 0;
}