BZOJ 2152 - 聪聪可可（点分治）

2152: 聪聪可可

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Description
聪聪和可可是兄弟俩，他们俩经常为了一些琐事打起来，例如家中只剩下最后一根冰棍而两人都想吃、两个人都想玩儿电脑（可是他们家只有一台电脑）……遇到这种问题，一般情况下石头剪刀布就好了，可是他们已经玩儿腻了这种低智商的游戏。他们的爸爸快被他们的争吵烦死了，所以他发明了一个新游戏：由爸爸在纸上画n个“点”，并用n-1条“边”把这n个“点”恰好连通（其实这就是一棵树）。并且每条“边”上都有一个数。接下来由聪聪和可可分别随即选一个点（当然他们选点时是看不到这棵树的），如果两个点之间所有边上数的和加起来恰好是3的倍数，则判聪聪赢，否则可可赢。聪聪非常爱思考问题，在每次游戏后都会仔细研究这棵树，希望知道对于这张图自己的获胜概率是多少。现请你帮忙求出这个值以验证聪聪的答案是否正确。

Input
输入的第1行包含1个正整数n。后面n-1行，每行3个整数x、y、w，表示x号点和y号点之间有一条边，上面的数是w。

Output
以即约分数形式输出这个概率（即“a/b”的形式，其中a和b必须互质。如果概率为1，输出“1/1”）。

Sample Input
5

1 2 1

1 3 2

1 4 1

2 5 3

Sample Output
13/25

【样例说明】

13组点对分别是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【数据规模】

对于100%的数据，n<=20000。

点分治
按照树的重心进行点分治。

（树的重心也叫树的质心。对于一棵树n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树时，最大子树的结点数最小。）

先找到树的重心，计算其子树中的点到重心的路径权值，对其%3，统计余数为0,1,2的数量，记为sum[1],sum[2],sum[3]
运用容斥，然后计算经过这条重心的符合条件的路径有多少条。res = sum[1] * sum[2] * 2 + sum[3] * sum[3]，这里的res包括了 选的两个点是同一颗子树中的情况，他们的路径并没有经过重心，所以要在后面去除。
统计完以当前点为重心的答案后，我们进入到其子树中，然后寻找子树的重心，再统计答案，也就是分治的过程
每次寻找树的重心，以重心为根，可以使得其子树的大小不超过n/2，所以递归层数不会超过logn层

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN = 2e4 + 10;

struct node{
	int v,w,nx;
}edge[MAXN<<1];

int tot,head[MAXN];

inline void add(int u,int v,int w)
{
	edge[++tot].v = v;
	edge[tot].w = w;
	edge[tot].nx = head[u];
	head[u] = tot;
}

int sz[MAXN],maxsubtree,root,size,vis[MAXN];//vis标记当前这个点有没有被作为分治点 

void getroot(int x,int fa)//找重心，把它作为当前树的根，是根据定义来求的 
{
	int maxn = 0;
	sz[x] = 1;
	for (int i = head[x];i;i = edge[i].nx)
	{
		int v = edge[i].v;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		getroot(v,x);
		sz[x] += sz[v];
		maxn = max(maxn,sz[v]);//记录以x为根的最大子树大小 
	}
	maxn = max(maxn,size - sz[x]);//当以x为根时，其祖先结点也变成了x的子树 
	if (maxn < maxsubtree)//寻找最大子树最小 
	{
		maxsubtree = maxn;
		root = x;
	}
}

ll ans = 0,sum[4];

void dfs1(int x,int fa,int st)//统计子树中到分治点（重心）对3取模的路径有几条 
{
	for (int i = head[x];i;i = edge[i].nx)
	{
		int v = edge[i].v;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		sum[(st + edge[i].w) % 3]++;
		dfs1(v,x,(st + edge[i].w) % 3);
	}
}

ll cal(int x,int st)//计算路径数量 
{
	sum[0] = sum[1] = sum[2] = 0;
	sum[st]++;
	ll res = 0;
	dfs1(x,0,st);//以重心为起始点，跑其子树的dfs，得到 到重心的路径权值%3为0,1,2的 数量 
	res = sum[1] * sum[2] * 2 + sum[0] * sum[0];//统计答案 
	return res;
}

void dfs(int x) 
{
	ans += cal(x,0);//计算经过当前点的路径的数量 
	vis[x] = 1;
	for (int i = head[x];i;i = edge[i].nx)
	{
		int v = edge[i].v;
		if (vis[v]) continue;
		ans -= cal(v,edge[i].w);//容斥，去掉统计答案时子树中互相组成路径没有经过重心（分治点）的路径数
		//之所以要加上edge[i].w是因为 以重心为根，计算子树到重心的路径权值的时候，加上了这条边
		//所以以其儿子点为根计算时也要加上这条边
		maxsubtree = 2147483647; size = sz[v];
		getroot(v,0);//寻找子树的重心 
		dfs(root);//以子树的重心为根分治子树 
	}
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1,u,v,w;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w % 3);
		add(v,u,w % 3);
	}
	maxsubtree = 2147483647; size = n;
	getroot(1,0);//先以1为根，寻找树的重心 
	dfs(root);//依照重心分治 
	ll t = (ll)n * (ll)n;
	ll g = __gcd(ans,t);
	printf("%lld/%lld",ans / g,t / g);
	return 0;
}