统计学——中心极限定理（R语言）

中心极限定理用通俗的话来讲就是，假设有一个服从（μ,σ2）的总体，这个总体的分布可以是任意分布，不用是正态分布，既可以是离散的，也可以是连续的。我们从该分布里随机取n个样本x1,x2,...,xn，然后求这些样本的均值x_mean，这个过程我们重复m次，我们就会得到x_mean_1,x_mean_2,...,x_mean_m，如果n-->∞，这些样本的均值服从N(μ,σ2/n)的正态分布。

举例：我有1000个苹果，它们的重量服从μ=100，σ2=50的分布，每次从中随机的抽取5个苹果称重：

第一次选取的5个苹果的重量为：(89,78,101,22,150)，均值x_mean_1=88

第二次。。。。。

。。。。

第m次选取的5个苹果的重量为：（77,90,34,88,140)，均值x_mean_m=99.2

那这m次的样本的均值的分布为μ_mean = μ = 100, σ2_mean = σ2 / 5 = 50 / 5 = 10

以下是我们用R语言模拟该过程：

library(moments)
options(digits = 3)
options(scipen = 200)

X = rexp(10000, rate=1)# 原始分布，可以随便设置,我设置的是一个指数分布
X_mean = mean(X) # 原始分布的均值
X_var= var(X) # 原始分布的方差



m=10000 # 抽取的次数
par(new=TRUE)
par(mfrow=c(2,3)) 

list_result = list()


for(n in c(5,10,50,100,500,1000)){# 每次从原始分布里随机抽取样本的个数
  
  s=c()
  
  for(j in 1:m){
    sample=sample(X,n)# 从原始分布里随机选取n个样本
    sample_mean = mean(sample)# 求样本的均值
    s[j]=sample_mean
  }
  
  s_mean = mean(s)# 样本均值的均值
  s_var = var(s)# 样本均值的方差
  hist(s,breaks = 50,main = paste('n = ',n,sep=''))
  
  result =c(
    n,
    X_mean,
    s_mean,
    X_var,
    s_var,
    X_var/n,
    skewness(s),# 偏度
    kurtosis(s)) # 峰度
  
  cat(result)
  cat('n')
}

hist(X)

以下是选择不同的n时样本均值的分布图，可以看到随着n的变大，分布图越来越接近正态分布：

从以下的列表可以看出，随着n的增大，样本均值的均值越来越接近总体的均值，样本均值的分布的偏度越来越小，越符合正态分布。

例1

题目：你从200,000苹果里挑出36个苹果作为样本，这36个样本的均值是112g，标准差是40g，那么这200,000个苹果的均值在100g到124g之间的概率为多少？

分析：这里给出一个样本集的情况，这36个样本（或者n=36的一次样本集采样中）的均值是112，这36个样本的σ=40。注意这里给出的是一个样本集的情况，不是多个样本集的sampling distribution of the sample mean。

我们知道，抽样分布的均值等于总体的均值，

从样本的方差，可以估算总本方差：不止大家是否记得还记得无偏差样本方差吗？是除以n-1，而不是n，无偏差样本方差，可以近似为总本方差σ2，所以总体200,000个苹果的方差可以认为是样本的方差，标准差为40g。进而可得样本均值的方差为σ2/n=40*40/36，标准差即为6.67 

这个题目的相当于：

根据上面的公式我们可以认为题目求的是对于一个特定的抽样均值，我们求其在抽样均值的均值12附近的概率。

由于样本均值的分布接近与正态分布，所以我们可以利用z-score来算概率，z-score=12/6.67=1.8，用z-table可得此区间的概率是0.9641，但是注意这是单尾的值，双尾的值为（0.9641-0.5）*2=0.9282。

所以200,000个苹果的均值在100g到124g之间的概率为92.8%。

例2

题目：成年男性在户外活动平均要喝2L的水，标准差为0.7L，如果50个男性户外活动，准备110L的水，不够喝的概率是多少？

分析：总体服从μ=2，σ=0.7。

题目问的是50个男性喝的水超过110L的概率，也就是说平均一个人喝水超过2.2L的概率，这也就是样本均值。从中心极限定理我们知道，那么样本均值服从μ_m = μ = 2，σ_m = σ/sqrt(50) = 0.099的正态分布。

所以本题也就是求：

同理我们求z-score = (2.2-2)/0.099 = 2.02，通过查看z-table可以看到概率为：0.9861，所以水不够喝的概率为1.39%

附录：