数据结构之图--最短路径（弗洛伊德（Floyd）算法）

弗洛伊德（Floyd）算法（考虑的是各点之间的最短路径）

（时间复杂度为：O{n³} ）

        虽然求各点之间的最短路径可以这样做：循环把每个顶点都当成一次源点来运行一次Djkstra,算法复杂度也是O{n³} ，但是代码冗余。

重要思想：两点之间的距离无非是直接从这个点到另一个点或者是从这个点经过某些点再到另一个点。

Floyd：

    总体思想：用当前顶点间（Vi~Vj）距离值与这两个顶点通过某个顶点（0~n个顶点循环）到达彼此的（Vi~Vk~Vj）距离值作比较。

定义两个二维数组：

    1、数组D[][]代表顶点到顶点的最短路径权值和的矩阵；

    2、数组P[][]代表对应顶点的最小路径的前一步经过的顶点（即前驱顶点）的矩阵。

D[][]更新的方法是：

    D⁰[i][j] = min{ D^-1[i][j]，D^-1[i][k] + D^-1[k][j] }  （其中：D^-1[i][j]表示前一次更新的Vi~Vj的距离，k表示Vi~Vj要经过的点）

P[][]怎么得出具体路径的呢？（V0~V8的最短路径不是最后一列下标顺序排下来的）

      D[0][8]=16表示V0~V8的最短距离为16，P[0][8]=1表示V0~V8要经过V1（即V0~V1~V8）P[1][8]=2表示V1~V8要经过V2（V1~V2~V8）,所以V0~V8要经过V0~V1~V2~V8，......，所以最后V0~V8的具体最小路径为V0~V1~V2~V4~V3~V6~V7~V8。

    

代码实现：

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

typedef struct
{
	int vexs[MAXVEX];
	int arc[MAXVEX][MAXVEX];
	int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];

/* 构件图 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i, j;

	/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
	G->numEdges=16;
	G->numVertexes=9;

	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		G->vexs[i]=i;
	}

	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			if (i==j)
				G->arc[i][j]=0;
			else
				G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
		}
	}

	G->arc[0][1]=1;
	G->arc[0][2]=5; 
	G->arc[1][2]=3; 
	G->arc[1][3]=7; 
	G->arc[1][4]=5; 

	G->arc[2][4]=1; 
	G->arc[2][5]=7; 
	G->arc[3][4]=2; 
	G->arc[3][6]=3; 
	G->arc[4][5]=3;

	G->arc[4][6]=6;
	G->arc[4][7]=9; 
	G->arc[5][7]=5; 
	G->arc[6][7]=2; 
	G->arc[6][8]=7;

	G->arc[7][8]=4;


	for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
		}
	}

}

/* Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。 */    
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{    
	int v,w,k;    
	for(v=0; v<G.numVertexes; ++v) /* 初始化D与P */  
	{        
		for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)  
		{
			(*D)[v][w]=G.arc[v][w];	/* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
			(*P)[v][w]=w;				/* 初始化P */
		}
	}
	for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)   
	{
		for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)  
		{        
			for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)    
			{
				if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
				{/* 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
					(*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];/* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
					(*P)[v][w]=(*P)[v][k];/* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
				}
			}
		}
	}
}

int main(void)
{    
	int v,w,k;  
	MGraph G;    
	
	Patharc P;    
	ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */   
	
	CreateMGraph(&G);
	
	ShortestPath_Floyd(G,&P,&D);  

	printf("各顶点间最短路径如下:\n");    
	for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)   
	{        
		for(w=v+1; w<G.numVertexes; w++)  
		{
			printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,D[v][w]);
			k=P[v][w];				/* 获得第一个路径顶点下标 */
			printf(" path: %d",v);	/* 打印源点 */
			while(k!=w)				/* 如果路径顶点下标不是终点 */
			{
				printf(" -> %d",k);	/* 打印路径顶点 */
				k=P[k][w];			/* 获得下一个路径顶点下标 */
			}
			printf(" -> %d\n",w);	/* 打印终点 */
		}
		printf("\n");
	}

	printf("最短路径D\n");
	for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)  
	{        
		for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)    
		{
			printf("%d\t",D[v][w]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("最短路径P\n");
	for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)  
	{        
		for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)    
		{
			printf("%d ",P[v][w]);
		}
		printf("\n");
	}

	return 0;
}