算法:通过弗洛伊德(Floyd)算法,求出图中任意两个顶点的最短路径
程序员文章站
2024-03-15 18:54:12
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之前我给大家分享过用迪杰斯特拉(Dijkstra)算法求图的最短路径(点我去看看),今天我再给大家分享一个也是求图的最短路径的弗洛伊德(Floyd)算法
这两个算法都是求图的最短路径,有什么区别呢?
1、Dijkstra算法是求图中一个点到其他所有点的最短路径,Floyd算法是求图中任意两个顶点之间的最短路径
2、Dijkstra算法是通过贪婪算法来实现的,Floyd算法是通过动态规划算法实现的
3、Dijkstra算法的图,所有边的权重不能为负值,Floyd算法的图在不存在负值圈的前提下可以存在负的权重
4、Dijkstra算法在稀疏图上求最短路径更有效率,Floyd算法在稠密图上求最短路径更有效率
5、Dijkstra算法的代码实现比较复杂,Floyd算法的代码实现比较简单
下面是一个图,有A到G七个顶点,顶点间连通用直线连接,直线上的数字代表两点间的权重,可以理解为路程、运输成本等概念,最短路径也就是权重和最小的路径:
下面的这个矩阵叫邻接矩阵,中间的数字是两个顶点的权重,也就是左边顶点到上面顶点的权重,就是左边顶点和上面顶点交叉的那个数字值。对角线全部为0,也就是顶点自己到自己的权重是0,INF代表无穷大,代表这两点之间不连通。这个邻接矩阵在接下来的代码中是以二维数组来实现的,INF则用Integer.MAX_VALUE来表示,也就是int的最大值:
下面是Floyd算法的Java代码实现,具体的算法精髓都在代码和其间的详细注释中。读者可以复制代码到IDE中运行,用DEBUG模式来研究算法的具体实现过程,最后控制台会输出示例图中任意两个顶点的最短路径信息:
/**
* @author LiYang
* @ClassName FloydAlgorithm
* @Description Floyd(弗洛伊德)算法求最短路径
* @date 2019/10/25 10:46
*/
public class FloydAlgorithm {
/**
* 用Floyd(弗洛伊德)算法求出所有顶点对的最短路径
* @param source 图的邻接矩阵
* @param distance Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
* @param path Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
*/
public static void floydAlgorithm(int[][] source, int [][] distance, int[][] path){
//矩阵的边长
int length = source.length;
//初始化距离表和路径表
for (int i = 0; i < length; i++) {
for (int j = 0; j < length; j++) {
//复制矩阵图到距离表
distance[i][j] = source[i][j];
//初始化路径表
path[i][j] = j;
}
}
//重要:运行Floyd(弗洛伊德)算法求所有顶点对的最短路径
for (int k = 0; k < length; k++) {
for (int i = 0; i < length; i++) {
for (int j = 0; j < length; j++) {
//如果当前中间顶点的距离小于之前的距离
//且中间顶点的两边距离不为无穷大(int最大值)
if (distance[i][k] != Integer.MAX_VALUE
&& distance[k][j] != Integer.MAX_VALUE
&& distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]){
//更新距离表
distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
//更新路径表
path[i][j] = path[i][k];
}
}
}
}
}
/**
* 将Floyd(弗洛伊德)算法的距离表和路径表,解析为任意两点间的最短路径距离和路径图
* @param distance Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
* @param path Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
* @param vertexName 顶点名字(以路径表中数字为下标取)
*/
public static void parseShortestPath(int[][] distance, int[][] path, String[] vertexName){
for (int i = 0; i < path.length; i++) {
for (int j = 0; j < path.length; j++) {
//出发点和目的点不一样,才打印信息
//自己到自己,没有意义
if (i != j){
//下一站的顶点
int next = path[i][j];
//记录路径,并加入出发点
StringBuffer route = new StringBuffer(vertexName[i]);
//重要:只要未到达目的点
while (next != j){
//加入当前顶点
route.append(" -> ").append(vertexName[next]);
//更新下一站顶点
//重要:每次都是找path表的第j列,要么找到下一个顶点,要么找到目的顶点
next = path[next][j];
}
//最后加入目的节点
route.append(" -> ").append(vertexName[j]);
//输出两个顶点的最短距离,以及最短路径
System.out.println(String.format("%s到%s的最短距离为%d,最短路径:%s",
vertexName[i], vertexName[j], distance[i][j], route.toString()));
}
}
}
}
/**
* 获取示例图的邻接矩阵
* @return
*/
public static int[][] initGraphMatrix(){
//无穷大距离
final int INF = Integer.MAX_VALUE;
//生成示例图的邻接矩阵
int[][] matrix = new int[][]{
{0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
{12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
{INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
{INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
{16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
{14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
//返回图的邻接矩阵
return matrix;
}
/**
* 运行Floyd(弗洛伊德)算法求出所有顶点对的最短路径
* 提示:如果需要运行自己的图,则需要重新定义initGraphMatrix()
* 方法里面的邻接矩阵,并重新定义顶点名数组String[] vertexName
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
//生成示例图中的邻接矩阵(自定义邻接矩阵,改下面的方法的返回值)
int[][] matrix = initGraphMatrix();
//Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
int[][] distance = new int[matrix.length][matrix.length];
//Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
int[][] path = new int[matrix.length][matrix.length];
//运行Floyd(弗洛伊德)算法
floydAlgorithm(matrix, distance, path);
//邻接矩阵的下标对应的顶点名字(自定义邻接矩阵,改下面字符串数组)
String[] vertexName = new String[]{"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G"};
//根据距离表、路径表、名字数组,解析输出任意两点的最短距离和最短路径
parseShortestPath(distance, path, vertexName);
}
}
运行上面代码的main方法,控制台将会输出示例图中的任意两顶点之间的最短路径详细信息:
A到B的最短距离为12,最短路径:A -> B
A到C的最短距离为22,最短路径:A -> B -> C
A到D的最短距离为22,最短路径:A -> F -> E -> D
A到E的最短距离为18,最短路径:A -> F -> E
A到F的最短距离为16,最短路径:A -> F
A到G的最短距离为14,最短路径:A -> G
B到A的最短距离为12,最短路径:B -> A
B到C的最短距离为10,最短路径:B -> C
B到D的最短距离为13,最短路径:B -> C -> D
B到E的最短距离为9,最短路径:B -> F -> E
B到F的最短距离为7,最短路径:B -> F
B到G的最短距离为16,最短路径:B -> F -> G
C到A的最短距离为22,最短路径:C -> B -> A
C到B的最短距离为10,最短路径:C -> B
C到D的最短距离为3,最短路径:C -> D
C到E的最短距离为5,最短路径:C -> E
C到F的最短距离为6,最短路径:C -> F
C到G的最短距离为13,最短路径:C -> E -> G
D到A的最短距离为22,最短路径:D -> E -> F -> A
D到B的最短距离为13,最短路径:D -> C -> B
D到C的最短距离为3,最短路径:D -> C
D到E的最短距离为4,最短路径:D -> E
D到F的最短距离为6,最短路径:D -> E -> F
D到G的最短距离为12,最短路径:D -> E -> G
E到A的最短距离为18,最短路径:E -> F -> A
E到B的最短距离为9,最短路径:E -> F -> B
E到C的最短距离为5,最短路径:E -> C
E到D的最短距离为4,最短路径:E -> D
E到F的最短距离为2,最短路径:E -> F
E到G的最短距离为8,最短路径:E -> G
F到A的最短距离为16,最短路径:F -> A
F到B的最短距离为7,最短路径:F -> B
F到C的最短距离为6,最短路径:F -> C
F到D的最短距离为6,最短路径:F -> E -> D
F到E的最短距离为2,最短路径:F -> E
F到G的最短距离为9,最短路径:F -> G
G到A的最短距离为14,最短路径:G -> A
G到B的最短距离为16,最短路径:G -> F -> B
G到C的最短距离为13,最短路径:G -> E -> C
G到D的最短距离为12,最短路径:G -> E -> D
G到E的最短距离为8,最短路径:G -> E
G到F的最短距离为9,最短路径:G -> F