动态规划：剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

1、题目分析

这是一道非常典型的动态规划问题，拿到礼物的方向有两个：向右，向下。因此用f[i][j]表示在(i,j)处礼物的最大价值。

2、解题分析

对于第一行和第一列，它们比较特殊，特殊在什么地方呢？因为它们的最大值是来源于同一个方向的。第一行：最大值等于上一个之和；第一列：等于上一个之和。其它点的位置都不特殊，比如（1，1）这个坐标的礼物最大值就等于value(1,1)加上max(value(0,1),value(1,0))。本次我们使用原地空间就可以做这个题目，不需要额外开辟新的空间。

• 初始化行和列
• 对每一个坐标位置执行grid[i][j] = grid[i][j]+max(grid[i-1][j],grid[i][j-1])
• 最后返回dp[-1][-1]表示左小角拿到的最多礼物价值

3、代码

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid:
            return 0
        
        #初始化价值最大的行和列
        row,col = len(grid),len(grid[0])
        for i in range(1,row):
            grid[i][0]+=grid[i-1][0]
        
        #对剩余的每一个元素执行动态转移方程
        for j in range(1,col):
            grid[0][j]+=grid[0][j-1]
        for i in range(1,row):
            for j in range(1,col):
                #上面的元素或者是左边的元素最大值
                grid[i][j] += max(grid[i][j-1],grid[i-1][j])
        
        #返回右下角的最大值
        return grid[-1][-1]

总结：涉及到最多/最少/最小/最大的一般都采用动态规划，动态规划有时候也可在原数组上执行。

本文地址：https://blog.csdn.net/weixin_37724529/article/details/107345870