数值分析Python实现系列—— 一、拉格朗日插值法

一、拉格朗日插值法

1.原理:

                   拉格朗日插值法:给定n个观测值(xk,yk)找到一组(n个)基函数 lk(x)  , 使得L(x) 为这组基函数的线性组合,

                   并且使得L(x)是经过这些点的多项式

        我们发现其中的一种找发是  :  满足这样线性组合的系数 是 观测值yk (n个)

        满足这样线性组合的基函数形如:

2.Python实现:       

                   思路:

                   1.观察发现基函数的分母与x无关,是观测值x的组合,可以先计算出来,留着以后用

                   2.每一个预测值先计算分子,再把每一个分子乘以每一个预测值,除以每一个分母,最终加和

                   3.使用matplotlib里的plot展示结果,蓝色点为观测值,红色点为预测值

import matplotlib.pyplot as plt
from functools import reduce
# % matplotlib inline (jupyter notebook用户建议打开)


def lagrange():
    points = eval(input("输入一个包含2个以上坐标的列表:"))
    pre = eval(input("输入预测值列表:"))
    length = len(points)
    result = []
    # l_k_den用于存储每一个基函数的分母数值(在计算不同预测值时可以共用)
    l_k_den = [reduce(lambda x, y: x * y, [num[0] - i[0] for i in points if i[0] != num[0]]) for num in points]
    for number in pre:
        # l_k_num用于存储每一个基函数的分子数值(每一个预测值都不一样)
        l_k_num = [reduce(lambda x, y: x * y, [number - i[0] for i in points if i[0] != one[0]]) for one in points]
        result.append(sum([l_k_num[i] * points[i][1] / l_k_den[i] for i in range(length)]))
    plt.plot([i[0]for i in points], [i[1] for i in points], 'b*')
    plt.plot(pre, result, 'r*')
    plt.show() # pycharm用户建议使用


lagrange()

3.效果展示:

        Pycharm:

        输入:

        

        输出:

        

        jupyter效果: