python数据分析与挖掘实战---拉格朗日插值法

拉格朗日插值法

定义

对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：

其中Xj对应着自变量的位置，而Yj对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：

其中每个

为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：

拉格朗日基本多项式
的特点是在Xj上取值为1，在其它的点Xi，i≠j上取值为0。

范例

假设有某个二次多项式函数{\displaystyle f}f，已知它在三个点上的取值为：

要求 f(18) 的值。

首先写出每个拉格朗日基本多项式：

然后应用拉格朗日插值法，就可以得到{\displaystyle p}p的表达式（{\displaystyle p}p为函数{\displaystyle f}f的插值函数）：

此时代入数值18就可以求出所需之值：

源代码

import pandas as pd  # 导入数据分析库Pandas
from scipy.interpolate import lagrange  # 导入拉格朗日插值函数

inputfile = '../data/catering_sale.xls'  # 销量数据路径
outputfile = '../tmp/sales.xls'  # 输出数据路径

data = pd.read_excel(inputfile)  # 读入数据
data[u'销量'][(data[u'销量'] < 400) | (data[u'销量'] > 5000)] = None  # 过滤异常值，将其变为空值

# 自定义列向量插值函数
# s为列向量，n为被插值的位置，k为取前后的数据个数，默认为5
def ployinterp_column(s, n, k=5):
  y = s[list(range(n-k, n)) + list(range(n+1, n+1+k))]  # 取数
  y = y[y.notnull()]  # 剔除空值
  return lagrange(y.index, list(y))(n)  # 插值并返回插值结果

# 逐个元素判断是否需要插值
for i in data.columns:
  for j in range(len(data)):
    if (data[i].isnull())[j]:  # 如果为空即插值。
      data[i][j] = ployinterp_column(data[i], j)

data.to_excel(outputfile)  # 输出结果，写入文件

KeyError: ‘Passing list-likes to .loc or [] with any missing labels is no longer supported, see https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/user_guide/indexing.html#deprecate-loc-reindex-listlike’

修改源代码

import pandas as pd  # 导入数据分析库Pandas
from scipy.interpolate import lagrange  # 导入拉格朗日插值函数

inputfile = '../data/catering_sale.xls'  # 销量数据路径
outputfile = '../tmp/sales.xls'  # 输出数据路径

data = pd.read_excel(inputfile)  # 读入数据
data.loc[((data['销量'] < 400) | (data['销量'] > 5000)), '销量'] = None  # 过滤异常值，将其变为空值

# 自定义列向量插值函数
# s为列向量，n为被插值的位置，k为取前后的数据个数，默认为5
def ployinterp_column(s, n, k=5):
  y = s.reindex((list(range(n-k, n)) + list(range(n+1, n+1+k)))  # 取数
  y = y[y.notnull()]  # 剔除空值
  return lagrange(y.index, list(y))(n)  # 插值并返回插值结果

# 逐个元素判断是否需要插值
for i in data.columns:
  for j in range(len(data)):
    if (data[i].isnull())[j]:  # 如果为空即插值。
      data.loc[j, i] = ployinterp_column(data[i], j)

data.to_excel(outputfile)  # 输出结果，写入文件

错误是传递了不存在标签的索引，上述代码

y = s[list(range(n-k, n)) + list(range(n+1, n+1+k))]

当n，也就是行索引在数据头或尾k个位置之内时会产生源数据不存在的行索引，0.21.0版本之前会为对应的索引建立NaN值，0.21.0版本之后会报错误

优点与缺点

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。