拉格朗日插值法 【python】

一、插值

   设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个点

               a≤x0<x1<....<xn≤b

   已知，f(xk)=yk(k=0,1....n),在函数类P中寻找一个函数Φ(x)。作为f(x)的近似表达式，使满足：

             Φ(xk)=f(xk)=yk, k=0,1,2,3,4....n                （2）

  f(x)为被插值函数，Φ(x)为插值函数，x0,x1....xn为插值节点。（2）为插值节点。

二、拉格朗日插值法

   线性插值：拉格朗日插值法中最简单的是线性插值，我们先来了解线性插值函数的构成。在此基础上了解多次插值，

   已知两点（x0,y0）和（x1,y1），这里f(x0)=y0,f(x1)=y1,通过这两个点的插值多项式是一条直线，如下：

   (x-x1)/(x0-x1)*y0+(x-x0)/(x1-x0)*y1    可以看出当x=x0的时候，函数值y0,当x=x1的时候，函数值为y1.

  多项插值

     在线性插值中，仅仅用到了两个点，为了提高精度，我们希望用更多的点来提高精度。为此我们用三个点来做插值

    已知点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2).如下图所示，式1是两次的拉格朗日插值函数。式2是拉格朗日函数的一般形式。

          当x=x0的时候，l0(x)的值为1，l1(x)的值为0，l2(x)的值为0.最后函数值为y0.

    拉格朗日插值的函数的形式都是如式二所示。假设有n个点进行拉格朗日插值。则插值函数一共有n项，每一项都是ln(x)*yn (n的取值为1到n),当x=m的时候(m为1到n中的数时)，相应的ln(x)为一，其他项为0。函数值为ym.

    但是，我们应该如何求解ln(x)呢。以上面的三个点为例，在求l0的时候，分子为x减去除了x0的点的连乘，分母为x0减去除x0点的连乘。其他的项也是这样计算的。

  

三、拉格朗日插值法的python应用

下面的程序是求点（100,10），（121,11），（144,12），可以看出函数为根号x，现在用拉格朗日插值法求三个点的插值函数，并绘制出函数图像，并求将根号115对应的函数值画在同一坐标系中，观察拉格朗日插值法的精确度。

import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
用拉格朗日插值法拟合数据。
"""

"""
功能：计算插值多项式的系数。
参数：data_x为数据的x坐标，data_y为数据的y坐标，size为插值基函数的个数。
返回值：插值函数的系数。
"""
x = [100, 121,  144]
y = [10,11, 12]

def ParametersOfLagrangeInterpolation(data_x,data_y,size):
    parameters=[]
    #i用来控制参数的个数
    i=0;
    while i < size:
        #j用来控制循环的变量做累乘
        j = 0;
        temp = 1;
        while j < size:
            if(i != j):
                temp*=data_x[i]-data_x[j]
            j+=1;
        parameters.append(data_y[i]/temp)
        i += 1;
    return parameters

"""
功能：计算拉格朗日插值法公式的值。
参数：data_x为原始数据的横坐标，x为要用拉格朗日插值函数计算数据，parameters为拉格朗日插值函数的系数。
返回值：经拉格朗日插值公式计算后的值。
"""

def CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(data_x,parameters,x):
    returnValue=0
    i = 0;
    while i < len(parameters):
        temp = 1
        j = 0;
        while j< len(parameters):
            if(i!=j):
                temp *=x-data_x[j]
            j+=1
        returnValue += temp * parameters[i]
        i += 1
    return returnValue


"""
功能：将函数绘制成图像
参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
返回值：空
"""
def  Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
        plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")
        plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")
        plt.scatter(115, 10.723805294764, label="真实数据", color="green")
        mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
        mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
        plt.title("拉格朗日插值拟合数据")
        plt.legend(loc="upper left")
        plt.show()

"""
由于三个点绘制的拟合曲线效果太差，所以采用这样的方法来进行数据拟合。
1>利用原数据计算出拉格朗日插值多项式的函数，分别在10-150区间内，每10个数取一个点，计算相应的值，绘制函数图像。
2>将源数据以点的形式画在图像上，
3>将115代入拉格朗日函数计算出相应的值，绘制在图像上。点为红色。并将真实的值也绘制在图像上点为绿色。看红色的点和绿色的点是否重合。
4>结果证明红色的点和绿色的点重合，说明拉格朗日函数插值效果较好。
"""
parameters=ParametersOfLagrangeInterpolation(x,y,3)
datax=[10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150]
datay=[]
for temp in datax:
    datay.append(CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(x,parameters,temp))
x.append(115)
y.append(CalculateTheValueOfLarangeInterpolation(x,parameters,115))
Draw(x,y,datax,datay)

   下面是拉格朗日插值法的效果图，可以看出，插值函数基本能和根号115重合。