51nod 1298 圆与三角形（几何知识）

Description

给出圆的圆心和半径，以及三角形的三个顶点，问圆同三角形是否相交。相交输出”Yes”，否则输出”No”。（三角形的面积大于0）。

Input

第1行：一个数T，表示输入的测试数量(1 <= T <= 10000)，之后每4行用来描述一组测试数据。
4-1：三个数，前两个数为圆心的坐标xc, yc，第3个数为圆的半径R。(-3000 <= xc, yc <= 3000, 1 <= R <= 3000）
4-2：2个数，三角形第1个点的坐标。
4-3：2个数，三角形第2个点的坐标。
4-4：2个数，三角形第3个点的坐标。(-3000 <= xi, yi <= 3000）

Output

共T行，对于每组输入数据，相交输出”Yes”，否则输出”No”。

Input示例

2
0 0 10
10 0
15 0
15 5
0 0 10
0 0
5 0
5 5

Output示例

Yes
No

解题思路

将判断圆与三角形是否相交转化为判断圆与三条线段是否相交
可以从三种情况来考虑
1、线段的端点在圆上
2、线段的两个端点一个在圆内，另一个在圆外
3、线段的两个端点都在圆外：
此时，对于两个端点和圆心组成的三角形来说，如果圆外的两个内角存在一个是直角或者是钝角，那么便不可能相交；否则求出圆心到线段的距离（可以借助海伦公式或者向量叉乘求面积），再与半径相比较。
要注意精度问题，总是忘记卡了很久(′д｀ )…彡…彡

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define eps 1e-8
struct Point
{
    int x;
    int y;
}p[3],origin;
double r;
double dis(Point p1,Point p2)
{
    return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));
}
bool judge(double a,double b,double c)
{
    if(a+b==c) return true;   //判断三点共线的情况
    if(b+c==a||a+c==b)
        return false;
    if(a*a>=b*b+c*c||b*b>=a*a+c*c)  //若圆外的两个角存在钝角则不可能相交
        return false;
    double p=(a+b+c)/2;
    double s=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));  //海伦公式求解三角形面积
    double h=2*s/c;    //圆心与两点组成的线段之间的距离
    if(h-r>eps)        //注意精度问题
        return false;
    else
        return true;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin>>T;
    Point t1,t2;
    double a,b,c;
    while(T--)
    {
        bool flag=false;
        cin>>origin.x>>origin.y>>r;
        for(int i=0;i<3;i++)
            cin>>p[i].x>>p[i].y;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            t1=p[i],t2=p[(i+1)%3];
            a=dis(t1,origin);
            b=dis(t2,origin);
            c=dis(t1,t2);
            if(a<r&&b<r)   //若两点均在圆内则不可能相交
                continue;
            if(a==r||b==r||(a<r&&b>r)||(a>r&&b<r))  //点在圆上或者一点在圆内一点在圆外
            {
                flag=true;
                break;
            }
            if(judge(a,b,c))    //两点均在圆外
            {
                flag=true;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            cout<<"Yes"<<endl;
        else
            cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}