求多边形面积小结

声明：此篇纯粹是与高数公式有关，也在一定程度上将高数与程序设计联系了起来。

先以求三角形面积为例

简单的求面积公式就不多赘述了

而海伦公式却是值得学习并记忆的

下面一道水题是我认识并记住海伦公式的第一道题，虽然是道水题，但不了解海伦公式会有一点点不好处理。

描述

   平面上有一个三角形，它的三个顶点坐标分别为
   (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，
   那么请问这个三角形的面积是多少。

输入

 输入仅一行，包括6个单精度浮点数，分别对应x1, y1, x2, y2, x3, y3。

输出

输出也是一行，输出三角形的面积，精确到小数点后两位。

样例输入

0 0 4 0 0 3

样例输出

6.00

直接套公式就行

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()//海伦公式求面积
{
    float x1,x2,x3,y1,y2,y3;//此题还行给出了数据类型，若未给出需自行判断
    double S,L1,L2,L3,p;//是整型还是实型，否则可能WA
    scanf("%f%f%f%f%f%f",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);
    L1=sqrt(fabs((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)));//此部分可以设
    L2=sqrt(fabs((x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2)));//置一个求两点
    L3=sqrt(fabs((x3-x1)*(x3-x1)+(y3-y1)*(y3-y1)));//间距离的函数
    //或者直接数组加循环求（借助数组的数据可保存性，可读取性）
    p=(L1+L2+L3)/2;
    S=sqrt(p*(p-L1)*(p-L2)*(p-L3));
    printf("%.2lf\n",S);
}

再就是多边形面积

显然比求三角形面积更上一层，但是同样也是套公式即可完成

下面一题即为高数中叉乘法的典型应用

Input

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1, y1, x2, y2… xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。

Output

对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。
每个实例的输出占一行。

Sample Input

3 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
0

Sample Output

0.5
2.0

叉乘法

求n边形的面积。
设 n 边形的点，按顺时针/逆时针的顺序依次是
（x1，y1）(x2,y2)…(xn,yn)
那么：s = （(x1y2-x2y1) + (x2y3-x3y2) +…+ (xny1-x1yn)）/2.0；
注意最后一位是y1,x1
s为有向面积，当顺时针旋转时为负值，逆时针旋转时为正值，题干给出了逆时针旋转，所以此题可不用加绝对值。但用到还是建议加个绝对值，避免出错。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    float x[102],y[102];//防溢出
    memset(x,0,sizeof(x));
    memset(y,0,sizeof(y));
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0) break;
        int s=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>x[i]>>y[i];//用数组存入数据，方便读取，方便后续计算
        }
        x[n+1]=x[1];
        y[n+1]=y[1];//最后一步
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            s+=(x[j]*y[j+1]-x[j+1]*y[j]);//直接套公式
        }
        cout<<fixed<<setprecision(1)<<fabs(s/2.0)<<endl;
    }
    return 0;
}

此题显然是提示我们用叉乘法（由题干“逆时针”可得出），否则计算将会很困难。
另，
此题若改为求正多边形的面积还可以用一个更简单的公式
S=(naa)/(4.0*tan(180/n))；（n为边数，a为每边长。）

感受：

虽然高数与高级语言是两个不同的科目，但编程与高数的联系还是显而易见的，许多题目用上高数相关知识，会让代码更简洁。学好高数就相当于给高级语言学习减了相当一部分负担！

题目来源

NO.1
NO.2