计算任意多边形的面积
对于凸多边形,很容易计算,如下图,以多边形的某一点为顶点,将其划分成几个三角形,计算这些三角形的面积,然后加起来即可。已知三角形顶点坐标,三角形面积可以利用向量的叉乘来计算。
对于凹多边形,如果还是按照上述方法划分成三角形,如下图,多边形的面积 = S_ABC + S_ACD + S_ADE, 这个面积明显超过多边形的面积。
我们根据二维向量叉乘求三角形ABC面积时,利用的是
这样求出来的面积都是正数,但是向量叉乘是有方向的,即 是有正负的,如果把上面第三个公式中的绝对值符号去掉,即 ,那么面积也是有正负的。反应在上面第二个图中,S = S_ABC + S_ACD + S_ADE,如果S_ABC和S_ADE是正的,那么S_ACD是负的,这样加起来刚好就是多边形的面积。对于凸多边形,所有三角形的面积都是同正或者同负。
如果我们不以多边形的某一点为顶点来划分三角形而是以任意一点,如下图,这个方法也是成立的:S = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODE + S_OEA。计算的时候,当我们取O点为原点时,可以简化计算。 本文地址
当O点为原点时,根据向量的叉积计算公式,各个三角形的面积计算如下:
S_OAB = 0.5*(A_x*B_y - A_y*B_x) 【(A_x,A_y)为A点的坐标】
S_OBC = 0.5*(B_x*C_y - B_y*C_x)
S_OCD = 0.5*(C_x*D_y - C_y*D_x)
S_ODE = 0.5*(D_x*E_y - D_y*E_x)
S_OEA = 0.5*(E_x*A_y - E_y*A_x)
代码如下
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struct Point2d
{ double x;
double y;
Point2d( double xx, double yy): x(xx), y(yy){}
}; //计算任意多边形的面积,顶点按照顺时针或者逆时针方向排列 double ComputePolygonArea( const vector<Point2d> &points)
{ int point_num = points.size();
if (point_num < 3) return 0.0;
double s = 0;
for ( int i = 0; i < point_num; ++i)
s += points[i].x * points[(i+1)%point_num].y - points[i].y * points[(i+1)%point_num].x;
return fabs (s/2.0);
} |
该算法还可以优化一下,对上面的式子合并一下同类项
S = S_OAB + S_OBC + S_OCD + S_ODE + S_OEA =
0.5*(A_y*(E_x-B_x) + B_y*(A_x-C_x) + C_y*(B_x-D_x) + D_y*(C_x-E_x) + E_y*(D_x-A_x))
这样减少了乘法的次数,代码如下:
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struct Point2d
{ double x;
double y;
Point2d( double xx, double yy): x(xx), y(yy){}
}; //计算任意多边形的面积,顶点按照顺时针或者逆时针方向排列 double ComputePolygonArea( const vector<Point2d> &points)
{ int point_num = points.size();
if (point_num < 3) return 0.0;
double s = points[0].y * (points[point_num-1].x - points[1].x);
for ( int i = 1; i < point_num; ++i)
s += points[i].y * (points[i-1].x - points[(i+1)%point_num].x);
return fabs (s/2.0);
} |
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double y;是经纬度,我们算的结果单位是什么?