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从1到n整数中1出现的次数:O(logn)算法

程序员文章站 2024-03-15 17:20:06
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1. 题目描述

输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

2. 题目来源

第一次看到是在《剑指Offer》第2版上,面试题32。leetcode牛客网上都有这道题。

3. 本文的目的

看了《剑指Offer》上的解法,我觉得不能算好:

  1. 这段解释描述有些不清晰,而且没有图,难以理解。
  2. 从书中给出的实现上来看,显得有些凌乱。

在这篇博客里,会给出一个我对这道题的解法,包括完整的解题思路,完整代码,时间复杂度分析,以及在leetcode和牛客网上的提交结果。

4. 解题思路

考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论,每一位的值记为weight。

1) 个位

从1到n,每增加1,weight就会加1,当weight加到9时,再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢?这取决于n的高位是多少,看图: 

从1到n整数中1出现的次数:O(logn)算法

以534为例,在从1增长到n的过程中,534的个位从0-9变化了53次,记为round。每一轮变化中,1在个位出现一次,所以一共出现了53次。 
再来看weight的值。weight为4,大于0,说明第54轮变化是从0-4,1又出现了1次。我们记1出现的次数为count,所以: 
count = round+1 = 53 + 1 = 54

如果此时weight为0(n=530),说明第54轮到0就停止了,那么: 
count = round = 53

2) 十位

对于10位来说,其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的,见图: 

从1到n整数中1出现的次数:O(logn)算法

不同点在于:从1到n,每增加10,十位的weight才会增加1,所以,一轮0-9周期内,1会出现10次。即rount*10。 
再来看weight的值。当此时weight为3,大于1,说明第6轮出现了10次1,则: 
count = round*10+10 = 5*10+10 = 60

如果此时weight的值等于0(n=504),说明第6轮到0就停止了,所以: 
count = round*10+10 = 5*10 = 50

如果此时weight的值等于1(n=514),那么第6轮中1出现了多少次呢?很明显,这与个位数的值有关,个位数为k,第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former,则: 
count = round*10+former +1= 5*10+4 = 55

3) 更高位

更高位的计算方式其实与十位是一致的,不再阐述。

4) 总结

将n的各个位分为两类:个位与其它位。 
对个位来说:

  • 若个位大于0,1出现的次数为round*1+1
  • 若个位等于0,1出现的次数为round*1

对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位之前的数是former,举例如图: 

从1到n整数中1出现的次数:O(logn)算法

则:

  • 若weight为0,则1出现次数为round*base
  • 若weight为1,则1出现次数为round*base+former+1
  • 若weight大于1,则1出现次数为rount*base+base

比如:

  • 534 = (个位1出现次数)+(十位1出现次数)+(百位1出现次数)=(53*1+1)+(5*10+10)+(0*100+100)= 214
  • 530 = (53*1)+(5*10+10)+(0*100+100) = 213
  • 504 = (50*1+1)+(5*10)+(0*100+100) = 201
  • 514 = (51*1+1)+(5*10+4+1)+(0*100+100) = 207
  • 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
public class Solution {
    /*
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
    int ones = 0;
    for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
        ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
    return ones;
    }
    */
    
/*
将n的各个位分为两类:个位与其它位。 
对个位来说:

若个位大于0,1出现的次数为round*1+1
若个位等于0,1出现的次数为round*1
对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位右边的数是former,该位左边的数是round,
则:
若weight为0,则1出现次数为round*base
若weight为1,则1出现次数为round*base+former+1
若weight大于1,则1出现次数为rount*base+base
*/
     public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
         if(n <=0)
             return 0;
         int count = 0;
         int round = n;
         int base = 1;
         while(round > 0){
         	int weight = round % 10;
             round /= 10;
             count += round * base;
            if(weight == 1)
                count += n % base + 1;
             else if(weight > 1){
                 count += base;
             }
             base *= 10;
         }
         return count;
     }
}


6. 时间复杂度分析

由分析思路或者代码都可以看出,while循环的次数就是n的位数,logn(以10为底),而循环体内执行的操作都是有限次的,所以时间复杂度为O(logn)


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