从1到n整数中1出现的次数:O(logn)算法
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2024-03-15 17:20:06
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1. 题目描述
输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
2. 题目来源
第一次看到是在《剑指Offer》第2版上,面试题32。leetcode和牛客网上都有这道题。
3. 本文的目的
看了《剑指Offer》上的解法,我觉得不能算好:
- 这段解释描述有些不清晰,而且没有图,难以理解。
- 从书中给出的实现上来看,显得有些凌乱。
在这篇博客里,会给出一个我对这道题的解法,包括完整的解题思路,完整代码,时间复杂度分析,以及在leetcode和牛客网上的提交结果。
4. 解题思路
考虑将n的十进制的每一位单独拿出讨论,每一位的值记为weight。
1) 个位
从1到n,每增加1,weight就会加1,当weight加到9时,再加1又会回到0重新开始。那么weight从0-9的这种周期会出现多少次呢?这取决于n的高位是多少,看图:
以534为例,在从1增长到n的过程中,534的个位从0-9变化了53次,记为round。每一轮变化中,1在个位出现一次,所以一共出现了53次。
再来看weight的值。weight为4,大于0,说明第54轮变化是从0-4,1又出现了1次。我们记1出现的次数为count,所以:
如果此时weight为0(n=530),说明第54轮到0就停止了,那么:
2) 十位
对于10位来说,其0-9周期的出现次数与个位的统计方式是相同的,见图:
不同点在于:从1到n,每增加10,十位的weight才会增加1,所以,一轮0-9周期内,1会出现10次。即rount*10。
再来看weight的值。当此时weight为3,大于1,说明第6轮出现了10次1,则:
如果此时weight的值等于0(n=504),说明第6轮到0就停止了,所以:
如果此时weight的值等于1(n=514),那么第6轮中1出现了多少次呢?很明显,这与个位数的值有关,个位数为k,第6轮中1就出现了k+1次(0-k)。我们记个位数为former,则:
3) 更高位
更高位的计算方式其实与十位是一致的,不再阐述。
4) 总结
将n的各个位分为两类:个位与其它位。
对个位来说:
- 若个位大于0,1出现的次数为
round*1+1
- 若个位等于0,1出现的次数为
round*1
对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位之前的数是former,举例如图:
则:
- 若weight为0,则1出现次数为
round*base
- 若weight为1,则1出现次数为
round*base+former+1
- 若weight大于1,则1出现次数为
rount*base+base
比如:
- 534 = (个位1出现次数)+(十位1出现次数)+(百位1出现次数)=(53*1+1)+(5*10+10)+(0*100+100)= 214
- 530 = (53*1)+(5*10+10)+(0*100+100) = 213
- 504 = (50*1+1)+(5*10)+(0*100+100) = 201
- 514 = (51*1+1)+(5*10+4+1)+(0*100+100) = 207
- 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
public class Solution {
/*
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int ones = 0;
for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
return ones;
}
*/
/*
将n的各个位分为两类:个位与其它位。
对个位来说:
若个位大于0,1出现的次数为round*1+1
若个位等于0,1出现的次数为round*1
对其它位来说,记每一位的权值为base,位值为weight,该位右边的数是former,该位左边的数是round,
则:
若weight为0,则1出现次数为round*base
若weight为1,则1出现次数为round*base+former+1
若weight大于1,则1出现次数为rount*base+base
*/
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
if(n <=0)
return 0;
int count = 0;
int round = n;
int base = 1;
while(round > 0){
int weight = round % 10;
round /= 10;
count += round * base;
if(weight == 1)
count += n % base + 1;
else if(weight > 1){
count += base;
}
base *= 10;
}
return count;
}
}
6. 时间复杂度分析
由分析思路或者代码都可以看出,while循环的次数就是n的位数,logn(以10为底),而循环体内执行的操作都是有限次的,所以时间复杂度为O(logn)。
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