整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

剑指OFFER题13------按牛客网通过率排序

时间：2018.10.21.2156
作者：Waitt

题目

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

时间限制：1秒 空间限制：32768K 热度指数：136665

解答

直观解法

1. 将一个数n，除10取余，若余数为1，则说明该数个位为1；将数n，除10取余整。
2. 若结果不为0，重复步骤1，可得其十位、百位、千位等的结果；若结果为0，则说明该数计算完毕。

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        int c=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            int t=i;
            while(t)
            {
                if((t%10)==1)
                    c++;
                t=t/10;
            }
        }
        return c;
    }
};

此算法的时间复杂度为O(N²)。

时间复杂度更好的算法

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6
来源：牛客网

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。
如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位以下（低位）的数字，百位以上（高位）的数字。

① 如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，…，11100~11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

② 如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100~1199,2100~2199，，…，11100~11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共114个，等于低位数字（113）+1。

③ 如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100~199,1100~1199，2100~2199，…，11100~11199,12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        int c=0;
        int i=1;
        int q,w,e;
        for(;i<=n;i=i*10)
        {
            q=n/(i*10);//高位数字
            w=n%(i*10);
            e=w%i;//低位数字
            w=w/i;//当前位数字
            if(w==0)
                c=c+q*i;
            if(w==1)
                c=c+q*i+e+1;
            if(w>1)
                c=c+(q+1)*i;
        }
        return c;
    }
};

时间复杂度更好的算法2

主要思路：设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析

根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i

当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a/10+1)*100个点的百位为1

当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a/10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a/10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1

当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）

综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%10==1)，需要增加局部点b+1

之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        int a,b;
        int c=0;
        for(int i=1;i<=n;i=i*10)
        {
            a=n/i;
            b=n%i;
            c=c+((a+8)/10)*i;
            if((a%10)==1)
                c=c+b+1;
        }
        return c;
    }
};