AcWing 479. 加分二叉树（区间dp）

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设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1。叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：一个整数n，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

输出格式

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围

n<30

输入样例：

5
5 7 1 2 10

输出样例：

145
3 1 2 4 5

思路：

区间DP同样适用于二叉树：

枚举二叉树的节点个数 len, 枚举二叉树的组成区间(l, r), 枚举根节点 k, 从而得到状态转移方程式：

f[ l ] [ r ] = max(f[ l ] [ r ], f[ l ] [ k - 1] + f[ l ] [k + 1], + w[k])

更新最大值的同时, 记录每一个树的根节点

答案：

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define pb push_back
#define eps 1e-6
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 35;
using namespace std;

int n;
ll dp[M];
ll mp[M][M];
ll vp[M][M];

void DFS(int l,int r){
    if(l>r) return ;
    int root=vp[l][r];
    cout<<root<<" ";
    DFS(l,root-1);
    DFS(root+1,r);
}

void solve(){;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>dp[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        mp[i][i]=dp[i];
        vp[i][i]=i;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;i+j-1<=n;j++){
            int key=i+j-1;
            for(int k=j;k<=key;k++){
                int l=(j==k?1:mp[j][k-1]);
                int r=(key==k?1:mp[k+1][key]);
                int res=l*r+dp[k];
                if(res>mp[j][key]){
                    mp[j][key]=res;
                    vp[j][key]=k;
                }
            }
        }
    }
    cout<<mp[1][n]<<endl;
    DFS(1,n);
    cout<<endl;
}

int main()
{
    solve();
    return 0;
}