Python OpenCV实现图像傅里叶变换

二维离散傅里叶变换（dft）

对于二维图像处理，通常使用 x , y x, yx,y 表示离散的空间域坐标变量，用 u , v u,vu,v 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（dft）和反变换（idft）为：

二维离散傅里叶变换也可以用极坐标表示：

傅里叶频谱（fourier spectrum）为：

傅里叶相位谱（fourier phase spectrum）为：

傅里叶功率谱（fourier power spectrum）为：

空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为：δu=1/mδt, δυ=1/nδz。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。

空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，二维卷积定理是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带：

这表明 f 和 h 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。

opencv 实现图像傅里叶变换（cv.dft）

使用 opencv 中的 cv.dft() 函数也可以实现图像的傅里叶变换，cv.idft() 函数实现图像傅里叶逆变换。

函数说明：

cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzerorows]]]) → dst
cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzerorows]]]) → dst

参数说明：

src：输入图像，单通道灰度图像，使用 np.float32 格式

dst：输出图像，图像大小与 src 相同，数据类型由 flag 决定

flag：转换标识符

cv.dft_inverse：用一维或二维逆变换取代默认的正向变换

cv.dft_scale：缩放比例标识，根据元素数量求出缩放结果，常与dft_inverse搭配使用

cv.dft_rows: 对输入矩阵的每行进行正向或反向的傅里叶变换，常用于三维或高维变换等复杂操作

cv.dft_complex_output：对一维或二维实数数组进行正向变换，默认方法，结果是由 2个通道表示的复数阵列，第一通道是实数部分，第二通道是虚数部分

cv.dft_real_output：对一维或二维复数数组进行逆变换，结果通常是一个尺寸相同的复数矩阵

注意事项：

1.输入图像 src 是 np.float32 格式，如图像使用 np.uint8 格式则必须先转换 np.float32 格式。

2.默认方法 cv.dft_complex_output 时，输入 src 是 np.float32 格式的单通道二维数组，输出 dst 是 2个通道的二维数组，第一通道 dft[:,:,0] 是实数部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虚数部分。

3.不能直接用于显示图像。可以使用 cv.magnitude() 函数将傅里叶变换的结果转换到灰度 [0,255]。

4.idft(src, dst, flags) 等价于 dft(src, dst, flags=dft_inverse)。

5.opencv 实现傅里叶变换，计算速度比 numpy 更快。

转换标识符为 cv.dft_complex_output 时，cv.dft() 函数的输出是 2个通道的二维数组，使用 cv.magnitude() 函数可以实现计算二维矢量的幅值 。

函数说明：

cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst

参数说明：

x：一维或多维数组，也表示复数的实部，浮点型

y：一维或多维数组，也表示复数的虚部，浮点型，数组大小必须与 x 相同

dst：输出数组，数组大小和数据类型与 x 相同，运算公式为：

傅里叶变换及相关操作的取值范围可能不适于图像显示，需要进行归一化处理。 opencv 中的 cv.normalize() 函数可以实现图像的归一化。

函数说明：

cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst

参数说明：

src：输入图像

dst：输出结果，与输入图像同尺寸同类型

alpha：归一化后的最小值，可选项，默认值为0

beta：归一化后的最大值，可选项，默认值为1

norm_type：归一化类型

• norm_inf：linf 范数（绝对值的最大值）
• norm_l1：l1 范数（绝对值的和）
• norm_l2：l2 范数（欧几里德距离），默认类型
• norm_minmax：线性缩放，常用类型

dtype：可选项，默认值 -1，表示输出矩阵与输入图像类型相同

mask：掩模遮罩，可选项，默认无遮罩

傅里叶变换在理论上需要o(mn)²次运算，非常耗时；快速傅里叶变换只需要o(mn㏒(mn)) 次运算就可以完成。

opencv 中的傅里叶变换函数 cv.dft() 对于行数和列数都可以分解为2^p*3^q*5^r的矩阵的计算性能最好。为了提高运算性能，可以对原矩阵的右侧和下方补 0，以满足该分解条件。opencv 中的 cv.getoptimaldftsize() 函数可以实现图像的最优 dft 尺寸扩充，适用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函数说明：

cv.getoptimaldftsize(versize) → retval

参数说明：

versize：数组大小

retval：dft 扩充的最优数组大小

示例代码

    # 8.11：opencv 实现二维图像的离散傅里叶变换
    imggray = cv2.imread("../images/fig0424a.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像

    # cv2.dft 实现图像的傅里叶变换
    imgfloat32 = np.float32(imggray)  # 将图像转换成 float32
    dft = cv2.dft(imgfloat32, flags=cv2.dft_complex_output)  # 傅里叶变换
    dftshift = np.fft.fftshift(dft)  # 将低频分量移动到频域图像的中心

    # 幅度谱
    # ampspe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftshift[:,:,1], 2))
    dftamp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1])  # 幅度谱，未中心化
    dftshiftamp = cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1])  # 幅度谱，中心化
    dftamplog = np.log(1 + dftshiftamp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    # 相位谱
    phase = np.arctan2(dftshift[:,:,1], dftshift[:,:,0])  # 计算相位角(弧度制)
    dftphi = phase / np.pi*180  # 将相位角转换为 [-180, 180]

    print("dftmag max={}, min={}".format(dftamp.max(), dftamp.min()))
    print("dftphi max={}, min={}".format(dftphi.max(), dftphi.min()))
    print("dftamplog max={}, min={}".format(dftamplog.max(), dftamplog.min()))

    # cv2.idft 实现图像的逆傅里叶变换
    invshift = np.fft.ifftshift(dftshift)  # 将低频逆转换回图像四角
    imgidft = cv2.idft(invshift)  # 逆傅里叶变换
    imgrebuild = cv2.magnitude(imgidft[:,:,0], imgidft[:,:,1])  # 重建图像

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(231), plt.title("original image"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imggray, cmap='gray')
    plt.subplot(232), plt.title("dft phase"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftphi, cmap='gray')
    plt.subplot(233), plt.title("rebuild image with idft"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgrebuild, cmap='gray')
    plt.subplot(234), plt.title("dft amplitude spectrum"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftamp, cmap='gray')
    plt.subplot(235), plt.title("dft-shift amplitude"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftshiftamp, cmap='gray')
    plt.subplot(236), plt.title("log-trans of dft amp"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftamplog, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

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