[ZJOI2014]力 - FFT做卷积

Description
给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.
Input
第一行一个整数n。
接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。
n≤100000，0<qi<1000000000
Output
n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

Sample Input
5

4006373.885184

15375036.435759

1717456.469144

8514941.004912

1410681.345880
Sample Output
-16838672.693

3439.793

7509018.566

4595686.886

10903040.872

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看到这种卷积式子，我们应该想到FFT做卷积，然后我们式子就尽量往卷积上面化简。

Ej = sigma(i<j) qi / (i-j) / (i-j) - sigma(i>j) qi / (i-j) / (i-j)

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我们首先要知道上面是卷积？

卷积的形式为： C[k] = sigma(i,0->k) ( A[i] * B[k-i] )

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然后直接FFT即可。

AC代码：

#pragma GCC optimize("-Ofast","-funroll-all-loops")
#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
const int N=4e5+10;
const double PI=acos(-1.0);
int n,r[N],lim,l;
struct Complex{
	double x,y;
}a[N],b[N],c[N];
Complex operator + (Complex a,Complex b){return {a.x+b.x,a.y+b.y};}
Complex operator - (Complex a,Complex b){return {a.x-b.x,a.y-b.y};}
Complex operator * (Complex a,Complex b){return {a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};}
inline void FFT(Complex *a,int n,int k){
	for(int i=0;i<n;i++)	if(i<r[i])	swap(a[i],a[r[i]]);
	for(int mid=1;mid<n;mid<<=1){
		Complex wn={cos(2*PI/(mid<<1)),k*sin(2*PI/(mid<<1))};
		for(int i=0;i<n;i+=(mid<<1)){
			Complex w={1,0};
			for(int j=0;j<mid;j++,w=(w*wn)){
				Complex t0=a[i+j],t1=w*a[i+mid+j];
				a[i+j]=t0+t1;
				a[i+mid+j]=t0-t1;
			}
		}
	}
	if(k==-1)	for(int i=0;i<n;i++)	a[i].x/=n;
}
inline void init(){
	lim=1;	while(lim<=(n<<1))	lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++)	r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf",&a[i].x);
		c[n-i].x=a[i].x,b[i].x=(1.0/i/i);
	}
	init();
	FFT(a,lim,1),FFT(b,lim,1),FFT(c,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)	a[i]=a[i]*b[i],c[i]=c[i]*b[i];
	FFT(a,lim,-1),FFT(c,lim,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++)	printf("%.3lf\n",a[i].x-c[n-i].x);
	return 0;
}