最小斯坦纳树初探

问题描述

斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。将指定点集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树（minimal steiner tree），其实最小生成树是最小斯坦纳树的一种特殊情况。而斯坦纳树可以理解为使得指定集合中的点连通的树，但不一定最小。（by angel_kitty）

解决方案

似乎没有多项式算法。在数据范围允许时可使用dp来解。具体地，设\(f[i,s]\)为根在点\(i\)，树中包含的指定集合点的集合为\(s​\)时的最优解。两种转移
\[ f[i,s]=\min_{t\subset s} f[i,t]+f[i',s-t]+e[i',i]\\ f[i,s]=\min f[i',s]+e[i',i] \]

显然第二种转移需要迭代/最短路算法。由于存在第二种转移，假设转移时能保证\(f[*,t]​\)已经被处理好，第一种转移转移可以进一步简化为
\[ f[i,s]=\min_{t\subset s} f[i,t]+f[i,s-t] \]
这样做就大功告成了。

练习题

bzoj2595 [wc2008]游览计划

最小化点权和，大致相同，设\(f[i,j,s]\)为根在点\((i,j)\)，指定集合状态为\(s\)的最小点权和，转移有
\[ f[i,j,s]=\min f[i',j',s]+c[i,j]\\ f[i,j,s]=\min_{t\subset s} f[i,j,t]+f[i',j's-t]=\min_{t\subset s} f[i,j,t]+f[i,j,s-t]-c[i,j] \]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int n=11;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int dx[]={0,0,-1,1};
const int dy[]={-1,1,0,0};

int n,m,k,st[n][n];
int vis[n][n],a[n][n],f[n][n][1<<n],pre[n][n][1<<n];
std::queue<int> q;
bool inq[n*n];

int ecd(int i,int j) {return i*10+j;}
int ecd(int i,int j,int s) {return i*100000+j*10000+s;}
void dcd(int c,int&i,int&j) {i=c/10,j=c%10;}
void dcd(int c,int&i,int&j,int&s) {i=c/100000,j=(c/10000)%10,s=c%10000;}

bool upd(int i,int j,int s,int p,int q,int t,int w) {
    if(f[i][j][s]>w) {
        f[i][j][s]=w;
        pre[i][j][s]=ecd(p,q,t);
        return 1;
    }
    return 0;
}
void spfa(int s) {
    int x,y,i,j,tmp;
    while(!q.empty()) {
        int x=q.front();
        q.pop();
        inq[x]=0;
        dcd(x,i,j);
        for(int k=0; k<4; ++k) {
            x=i+dx[k],y=j+dy[k];
            if(x<0||x>=n||y<0||y>=m) continue;
            if(upd(x,y,s,i,j,s,f[i][j][s]+a[x][y])&&!inq[tmp=ecd(x,y)]) {
                q.push(tmp),inq[tmp]=1;
            }
        }
    }
}
void dfs(int i,int j,int s) {
    int p,q,t;
    vis[i][j]=1;
    if(!pre[i][j][s]) return;
    dcd(pre[i][j][s],p,q,t);
    dfs(p,q,t);
    if(p==i&&q==j) dfs(p,q,s^t);
}

int main() {
    memset(f,inf,sizeof f);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0; i<n; ++i)
    for(int j=0; j<m; ++j) {
        scanf("%d",&a[i][j]);
        if(!a[i][j]) {
            st[i][j]=1<<(k++);
            f[i][j][st[i][j]]=0;
        }
    }
    int fll=1<<k,tmp;
    for(int s=1; s<fll; ++s) {
        for(int i=0; i<n; ++i) 
        for(int j=0; j<m; ++j) {
            for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) 
                upd(i,j,s, i,j,t, f[i][j][t]+f[i][j][s^t]-a[i][j]);
            if(f[i][j][s]!=inf) {
                q.push(tmp=ecd(i,j));
                inq[tmp]=1;
            }
        }
        spfa(s);
    }
    for(int i=0; i<n; ++i) 
    for(int j=0; j<m; ++j) if(!a[i][j]) {
        printf("%d\n",f[i][j][fll-1]);
        dfs(i,j,fll-1);
        for(int p=0; p<n; ++p,puts("")) 
        for(int q=0; q<m; ++q) {
            if(!a[p][q]) putchar('x');
            else if(vis[p][q]) putchar('o');
            else putchar('_');
        }
        return 0;
    } 
}

bzoj4006 [jloi2015]管道连接

需要处理出同种频道的最小斯坦纳树，在进行dp组合得到最优解。设\(f[i,s]\)为根在\(i\)包含关键点集为\(s\)的最小边权和，\(dp[s]\)表示包含频道集为\(s\)的最小边权和，\(ki[i]\)表示频道\(i\)包含的关键点集，转移有
\[ dp[s]=\min_{i=1}^n f[i,\cup_{k\in s}ki[k]]\\ dp[s]=\min_{t\subset s} dp[t]+dp[s-t] \]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int n=1003;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,p;
int head[n],to[n<<3],len[n<<3],last[n<<3];
int ki[n],f[n][1<<10],dp[1<<10];

void add_edge(int x,int y,int w) {
    static int cnt=1;
    to[cnt]=y;
    len[cnt]=w;
    last[cnt]=head[x];
    head[x]=cnt++;
}
queue<int> q;
bool inq[n];
void spfa(int s) {
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        inq[i]=1; q.push(i);
    }
    while(!q.empty()) {
        int x=q.front(); q.pop();
        inq[x]=0;
        for(int i=head[x]; i; i=last[i]) {
            if(f[to[i]][s]>f[x][s]+len[i]) {
                f[to[i]][s]=f[x][s]+len[i];
                if(!inq[to[i]]) {
                    inq[to[i]]=1;
                    q.push(to[i]);
                }
            }
        }
    }
}


int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1,x,y,w; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add_edge(x,y,w);
        add_edge(y,x,w); 
    } 
    memset(f,inf,sizeof f);
    for(int i=1,x,y; i<=p; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ki[x]|=1<<(i-1);
        f[y][1<<(i-1)]=0;
    }
    for(int s=1; s<(1<<p); ++s) {
        for(int i=1; i<=n; ++i) 
        for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) {
            f[i][s]=min(f[i][s],f[i][t]+f[i][s^t]);
        }
        spfa(s);
    }
    memset(dp,inf,sizeof dp);
    dp[0]=0;
    for(int s=1; s<(1<<p); ++s) {
        int k=0;
        for(int i=0; i<p; ++i) if((s>>i)&1) k|=ki[i+1];
        for(int i=0; i<n; ++i) dp[s]=min(dp[s],f[i][k]);
        for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) dp[s]=min(dp[s]s,dp[t]+dp[s^t]);
    }
    printf("%d\n",dp[(1<<p)-1]);
    return 0;
} 

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