最小斯坦纳树初探
问题描述
斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。将指定点集合中的所有点连通,且边权总和最小的生成树称为最小斯坦纳树(minimal steiner tree),其实最小生成树是最小斯坦纳树的一种特殊情况。而斯坦纳树可以理解为使得指定集合中的点连通的树,但不一定最小。(by angel_kitty)
解决方案
似乎没有多项式算法。在数据范围允许时可使用dp来解。具体地,设\(f[i,s]\)为根在点\(i\),树中包含的指定集合点的集合为\(s\)时的最优解。两种转移
\[
f[i,s]=\min_{t\subset s} f[i,t]+f[i',s-t]+e[i',i]\\
f[i,s]=\min f[i',s]+e[i',i]
\]
显然第二种转移需要迭代/最短路算法。由于存在第二种转移,假设转移时能保证\(f[*,t]\)已经被处理好,第一种转移转移可以进一步简化为
\[
f[i,s]=\min_{t\subset s} f[i,t]+f[i,s-t]
\]
这样做就大功告成了。
练习题
bzoj2595 [wc2008]游览计划
最小化点权和,大致相同,设\(f[i,j,s]\)为根在点\((i,j)\),指定集合状态为\(s\)的最小点权和,转移有
\[
f[i,j,s]=\min f[i',j',s]+c[i,j]\\
f[i,j,s]=\min_{t\subset s} f[i,j,t]+f[i',j's-t]=\min_{t\subset s} f[i,j,t]+f[i,j,s-t]-c[i,j]
\]
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int n=11; const int inf=0x3f3f3f3f; const int dx[]={0,0,-1,1}; const int dy[]={-1,1,0,0}; int n,m,k,st[n][n]; int vis[n][n],a[n][n],f[n][n][1<<n],pre[n][n][1<<n]; std::queue<int> q; bool inq[n*n]; int ecd(int i,int j) {return i*10+j;} int ecd(int i,int j,int s) {return i*100000+j*10000+s;} void dcd(int c,int&i,int&j) {i=c/10,j=c%10;} void dcd(int c,int&i,int&j,int&s) {i=c/100000,j=(c/10000)%10,s=c%10000;} bool upd(int i,int j,int s,int p,int q,int t,int w) { if(f[i][j][s]>w) { f[i][j][s]=w; pre[i][j][s]=ecd(p,q,t); return 1; } return 0; } void spfa(int s) { int x,y,i,j,tmp; while(!q.empty()) { int x=q.front(); q.pop(); inq[x]=0; dcd(x,i,j); for(int k=0; k<4; ++k) { x=i+dx[k],y=j+dy[k]; if(x<0||x>=n||y<0||y>=m) continue; if(upd(x,y,s,i,j,s,f[i][j][s]+a[x][y])&&!inq[tmp=ecd(x,y)]) { q.push(tmp),inq[tmp]=1; } } } } void dfs(int i,int j,int s) { int p,q,t; vis[i][j]=1; if(!pre[i][j][s]) return; dcd(pre[i][j][s],p,q,t); dfs(p,q,t); if(p==i&&q==j) dfs(p,q,s^t); } int main() { memset(f,inf,sizeof f); scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0; i<n; ++i) for(int j=0; j<m; ++j) { scanf("%d",&a[i][j]); if(!a[i][j]) { st[i][j]=1<<(k++); f[i][j][st[i][j]]=0; } } int fll=1<<k,tmp; for(int s=1; s<fll; ++s) { for(int i=0; i<n; ++i) for(int j=0; j<m; ++j) { for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) upd(i,j,s, i,j,t, f[i][j][t]+f[i][j][s^t]-a[i][j]); if(f[i][j][s]!=inf) { q.push(tmp=ecd(i,j)); inq[tmp]=1; } } spfa(s); } for(int i=0; i<n; ++i) for(int j=0; j<m; ++j) if(!a[i][j]) { printf("%d\n",f[i][j][fll-1]); dfs(i,j,fll-1); for(int p=0; p<n; ++p,puts("")) for(int q=0; q<m; ++q) { if(!a[p][q]) putchar('x'); else if(vis[p][q]) putchar('o'); else putchar('_'); } return 0; } }
bzoj4006 [jloi2015]管道连接
需要处理出同种频道的最小斯坦纳树,在进行dp组合得到最优解。设\(f[i,s]\)为根在\(i\)包含关键点集为\(s\)的最小边权和,\(dp[s]\)表示包含频道集为\(s\)的最小边权和,\(ki[i]\)表示频道\(i\)包含的关键点集,转移有
\[
dp[s]=\min_{i=1}^n f[i,\cup_{k\in s}ki[k]]\\
dp[s]=\min_{t\subset s} dp[t]+dp[s-t]
\]
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int n=1003; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m,p; int head[n],to[n<<3],len[n<<3],last[n<<3]; int ki[n],f[n][1<<10],dp[1<<10]; void add_edge(int x,int y,int w) { static int cnt=1; to[cnt]=y; len[cnt]=w; last[cnt]=head[x]; head[x]=cnt++; } queue<int> q; bool inq[n]; void spfa(int s) { for(int i=1; i<=n; ++i) { inq[i]=1; q.push(i); } while(!q.empty()) { int x=q.front(); q.pop(); inq[x]=0; for(int i=head[x]; i; i=last[i]) { if(f[to[i]][s]>f[x][s]+len[i]) { f[to[i]][s]=f[x][s]+len[i]; if(!inq[to[i]]) { inq[to[i]]=1; q.push(to[i]); } } } } } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); for(int i=1,x,y,w; i<=m; ++i) { scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); add_edge(x,y,w); add_edge(y,x,w); } memset(f,inf,sizeof f); for(int i=1,x,y; i<=p; ++i) { scanf("%d%d",&x,&y); ki[x]|=1<<(i-1); f[y][1<<(i-1)]=0; } for(int s=1; s<(1<<p); ++s) { for(int i=1; i<=n; ++i) for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) { f[i][s]=min(f[i][s],f[i][t]+f[i][s^t]); } spfa(s); } memset(dp,inf,sizeof dp); dp[0]=0; for(int s=1; s<(1<<p); ++s) { int k=0; for(int i=0; i<p; ++i) if((s>>i)&1) k|=ki[i+1]; for(int i=0; i<n; ++i) dp[s]=min(dp[s],f[i][k]); for(int t=s&(s-1); t; t=(t-1)&s) dp[s]=min(dp[s]s,dp[t]+dp[s^t]); } printf("%d\n",dp[(1<<p)-1]); return 0; }
bzoj4774 修路
hdu4085 peach blossom spring
zoj3613 wormhole transport
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