[51nod1555][CF526F]布丁怪

问题描述

布丁怪这一款游戏是在一个n×n 的矩形网格中进行的，里面有n个网格有布丁怪，其它的一些格子有一些其它的游戏对象。游戏的过程中是要在网格中移动这些怪物。如果两个怪物碰到了一起，那么他们就会变成一个更大的怪物。（谁叫他们是布丁呢？）
据统计，如果每一行每一列都只有一个布丁怪，那么这样的布局是比较吸引玩家的。
所以为了产生多种多样的有趣布局，我们会从一个 n×n 的有趣的地图中选取一个k×k (1≤k≤n)子矩形作为地图，而且这个子地图中恰好有k个布丁怪。
现在请你计算一下一个n×n 的有趣布局中，有多少种子地图是有趣的。
1≤n≤3×10^5

分析

这道题转化一下题意，我们把点按x升序排序，那么记a[i]为第i个点的纵坐标。问题就变成了有几个区间[l,r]满足r-l+1==max(a[l~r])-min(a[l~r])+1.
暴力我们要考虑每个区间满不满足。
优化考虑过程，使用序列的分治。
对于一个二分区间(l,r)，设中点mid。尝试确定一个左端点i，这之后怎么做呢？我们尝试确定max和min在mid左边还是右边。设mx[i]、mn[i]表示从i~mid中a的最大最小值。
mx[j]、mn[j]表示mid+1~j的。
分几种情况讨论：

1. max和min都在左边
   这个时候，右端点的范围肯定是mid+1到j，满足mx[j+1]>mx[i]或mn[j+1]<mn[i]。因为mx和mn都是单调的，j可以线性维护。那么我们看看mx[i]-mn[i]+1大小的区间能不能取即可。

2. max在左边，min在右边
   这个时候，右端点的范围设为[l1,r1]，这个也可以线性维护。那么满足条件的(i,j)要满足：mx[i]−mn[j]==j−i，也就是mx[i]+i==mn[j]+j，那么开个cnt数组维护所有j的mn[j]+j，每次i查询一下对应位置即可。

剩下还有两种情况，跟上面是对称的，我直接reverse了序列来做，省代码。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=1e6+5,mo=1e9+7; 
int L,R,i,j,mx[N],mn[N],cnt[N],a[N],x,y,n;
ll ans;
void work(int l,int r,int m)
{
    mx[m]=mn[m]=a[m];
    fd(i,m-1,l)
    {
        mx[i]=max(a[i],mx[i+1]);
        mn[i]=min(a[i],mn[i+1]);
    }
    mx[m+1]=mn[m+1]=a[m+1];
    fo(i,m+2,r)
    {
        mx[i]=max(a[i],mx[i-1]);
        mn[i]=min(a[i],mn[i-1]);
    }
    R=j=m;
    L=m+1;
    fd(i,m,l)
    {
        while (j<r&&mx[i]>mx[j+1]&&mn[i]<mn[j+1]) j++;
        if (mx[i]-mn[i]==j-i&&j>m) ans++;

        while (R<r&&mx[i]>mx[R+1]) R++,cnt[R+mn[R]]++;
        while (L<=r&&mn[i]<mn[L]) cnt[L+mn[L]]--,L++;
        ans+=max(cnt[mx[i]+i],0);
    }
    while (L<=r) cnt[L+mn[L]]--,L++;
    while (R<r) R++,cnt[R+mn[R]]++;
}
void solve(int l,int r)
{
    if (l==r)
    {
        ans++;
        return ;
    }
    int m=(l+r)/2;
    solve(l,m);
    solve(m+1,r);
    work(l,r,m);
    reverse(a+l,a+r+1);
    if ((r-l+1)%2==1) m--;
    work(l,r,m);
    reverse(a+l,a+r+1);
}
int main()
{
    freopen("t1.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)
    {
        scanf("%d %d\n",&x,&y);
        a[x]=y;
    }
    solve(1,n);
    printf("%lld\n",ans);
}