一天一大 lee(N 皇后)难度:困难-Day20200903

题目:

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例:

输入：4
输出：[
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

提示：

• 皇后彼此不能相互攻击，也就是说：任何两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

抛砖引玉

翻一下题目的意思：

出入 N，要在长宽为 N 的矩阵中放入 N 个 Q，且每个 Q 不能处在同行同列也不能处在对角线上

思路

第一下看示例的输出其实有点不符合直觉，第一反应应该是从第一位开始放 Q：

Q	.	.	.
.	.	Q	.
.	.	.	.
.	.	.	.

[0,2] -> [ [0,0],[1,2] ]

这个时候就知道为什么输出不是从开始就放 Q，因为如果在某些位置放置了 Q，后续可能不能放下 n 个 Q

那么此时就有两种方式开启行的枚举：

1. 回溯到开始从新枚举
2. 就当前位回溯开始新的枚举

如果采用第 1 种方式回溯，可能在当前起始填充位下存在正确的解法，直接切换了起始位就会造成解法丢失，则采用的第 2 种方法回溯

回溯第二个 Q，给其重新放置位置

Q	.	.	.
.	.	.	Q
.	Q	.	.
.	.	.	.

[0,3,1] -> [ [0,0],[1,3],[2,1] ]

还是放置不下 4 个 Q，说明枚举了第二个 Q 的位置还是不能满足条件，次数枚举了 Q 起始位置为[0,0]的组合，确定起始位置为[0,0]不存在正解

继续向后枚举起始位置

.	Q	.	.
.	.	.	Q
Q	.	.	.
.	.	Q	.

[1,3,0,2] -> [ [0,1],[1,3],[2,0],[3,2] ]

得到一种解法，记录下拉继续枚举…

/**
 * @param {number} n
 * @return {string[][]}
 */
var solveNQueens = function (n) {
  let _result = Array.from({length:n,()=>Array(n).fill('.')}),
    tmp = [];

  dfs(tmp)

  function dfs(tmp) {
    if (tmp.length === n) {
      for (let i = 0; i < n; i++) {
        const s = Array(n).fill('.').splice(tmp[i], 1, 'Q').join('')
        _result.push(s)
      }
      return
    }

    for (let i = 0; i < n; i++) {
      if (isValid(tmp, i)) {
        // 遇到满足“不能相互攻击”的点就先占着后继续安放下一个Q
        tmp.push(i)
        dfs(tmp)
        // 回溯已经安放的Q
        tmp.pop()
      }
    }
  }

  // 判断新的位置是否满足“不能相互攻击”
  function isValid(tmp, Ny) {
    // 传入校验的坐标：[Nx,Ny]
    let Nx = tmp.length
    for (let x = 0; x < Nx; x++) {
      let y = tmp[x]
      // 不同列，因为所有做行一定不同行，不在斜对角上[注：斜对角判断]
      if (y === Ny || x - y === x - Ny || x + y === x + Ny) {
        return false
      }
    }
    return true
  }

  return _result
}

注：斜对角判断

a	*	b
*	A	*
c	*	d

元素 A ->[1,1]的斜对角有：

1. a->[0,0]
2. b->[2,0]
3. c->[0,2]
4. d->[2,2]

坐标[x,y]的斜对角坐标[i,j]都满足 x-y=== i-j 或者 x+y===i+j

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