欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  IT编程

莫比乌斯反演·学习记录

程序员文章站 2022-05-08 11:06:08
莫比乌斯反演·学习记录 cyw在6.8左右学的莫比乌斯反演,记录一下 这个东西感觉不大好描述,我一开始也不知道这玩意能干嘛~~(其实现在也不知道)~~ CYW认为,对关于一些因数/倍数关系进行操作的行为,可以用莫比乌斯反演来解决 莫比乌斯函数 这并不是什么高大上的东西,但是很有用 对于 莫比乌斯函数 ......

莫比乌斯反演·学习记录

cyw在6.8左右学的莫比乌斯反演,记录一下


这个东西感觉不大好描述,我一开始也不知道这玩意能干嘛(其实现在也不知道)
CYW认为,对关于一些因数/倍数关系进行操作的行为,可以用莫比乌斯反演来解决


莫比乌斯函数

这并不是什么高大上的东西,但是很有用
对于 莫比乌斯函数 的定义是

  1. $d=1,\mu(d)=1 $
  2. \(d=\prod_{k=1}^n p_k\;(k\in prime),\mu(d)=(-1)^k\)
    即数\(d\)可以被表示为若干互异素数相乘的形式(指数不超过\(1\)),此时函数值根据分解数量而定
  3. \(Otherwise,\mu(d)=0\)

当然了 它有一些性质

  • \(\mu\)是积性函数,这是它可以通过线性筛求的必要条件
  • 对于正整数\(n\)\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\),这是莫比乌斯反演中非常常用的一条性质
  • 对于正整数\(n\)\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\),不过这个我还没用过
  • \[\mu \times id\;=\;\phi\]
    \(\times\)表示卷积,这里是常见狄利克雷卷积的一种,有的时候有奇效
    在公式里书写为
    \[\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})*d=\phi(n)\]

    贴一份线筛代码

inline void getmiu(int n){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1]=vis[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i]){pri[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for (int j=1;j<=cnt&&(LL)i*pri[j]<=n;j++){
            vis[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

PS:一些题目中要求\(\sum\mu(d)\),可以通过预处理来降低复杂度


整除分块

一个同样在莫比乌斯反演及一些计算中十分重要的东西
\[\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]
这个东西暴力算是\(O(N)\)的,容易发现,\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)至多只有\(\sqrt{n}\)种取值,可以对每种取值的个数进行计算,再乘上对应的i,复杂度\(O(\sqrt{n})\)

for (int l=1,r;l<=n;l=r+1){   //可能会用到(for LL l=1,r;...)
    r=n/(n/l);
    ans+=(LL)(n/l)*(r-l+1); //注意在部分大运算前加(LL)或"1ll*",避免炸int
}

好的,那么所有的前言:莫比乌斯函数,整除分块都讲完了,可以开始我们的正题
莫比乌斯反演


莫比乌斯反演

(有点小困 明晚更完)