BZOJ2005: [Noi2010]能量采集(容斥原理 莫比乌斯反演)
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2022-12-22 17:28:37
Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后, 栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列 有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标( ......
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Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列
有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,
表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了
一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器
连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植
物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20
棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能
量损失。
Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
HINT
Source
第二道自己做出来的NOI系列的数学题(雾)
首先$ans = \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M 2 * (gcd(i, j) - 1) + 1$
化简得到$ans = 2 * \sum_{i = 1}^N \sum_{j = 1}^M gcd(i, j) - N * M$
然后就是怎么求GCD啦。这个问题我记得去年的时候遇到过,不过那时候还比较naive不会做
今天重新来想其实还是挺简单的。
利用容斥原理,$gcd(i,j)$对答案的贡献=所有含有$gcd(i,j)$因子的数对 - 不是以$gcd(i, j)$为最大因子的数对
前面那个是$\frac{N}{gcd(i, j)} * \frac{M}{gcd(i, j)}$
后面的可以容斥计算,这里必须要倒着算不然容斥起来很麻烦。。
#include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> #define int long long const int INF = 1e9 + 10, MAXN = 2 * 1e5 + 10; using namespace std; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } int N, M; long long num[MAXN];//以i为最大公约数的数有多少个 long long GetGcd() { long long ans = 0; if(N > M) swap(N, M); for(int i = N; i >= 1; i--) { long long rt = 0; rt += (N / i) * (M / i); for(int j = i << 1; j <= N; j += i) rt -= num[j]; num[i] = rt; ans += num[i] * i; } return ans; } main() { #ifdef WIN32 // freopen("a.in", "r", stdin); #endif N = read(); M =N; long long ans = 0; ans = GetGcd(); printf("%lld", ans); }
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