NOIP2014普及组初赛难点整理

问题求解

1. 把 $M$ 个同样的球放到 $N$ 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的放置方法?(用 $K$ 表示)。例如, $M=7$，$N=3$ 时，$K=8$；在这里认为 $(5,1,1)$ 和 $(1,5,1)$ 是同一种放置方法。
   问：$M=8$，$N=5$ 时，$K=$____。
   【解析】$n$个相同的球放入$ｍ$个相同的盒子（$n≥m$），可以有空盒时的放法种数等于将$n$分解为$ｍ$个、$(ｍ－1)$个、$(ｍ－2)$个、…、$2$个、$1$个数的和的所有种数之和。
   将8分解为$1$个数：8，共$1$种
   将8分解为$2$个数：1+7，2+6，3+5，4+5，共$4$种
   将8分解为$3$个数：1+1+6，1+2+5，1+3+4，2+2+4，2+3+3，共$5$种
   将8分解为$4$个数：1+1+1+5，1+1+2+4，1+1+3+3，1+2+2+3，2+2+2+2，共$5$种
   将8分解为$5$个数：1+1+1+1+4，1+1+1+2+3，1+1+2+2+2，共$3$种
   答案：18
2. 如图所示，图中每条边上的数字表示该边的长度，则从 $A$ 到 $E$ 的最短距离是____。
   
   【解析】正权图的最短路，可以使用Dijkstra算法求解。

阅读程序写结果

#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int n)
{
    if(n == 1)
        return 1;
    if(n == 2)
        return 2;
    return fun(n - 2) - fun(n - 1);
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << fun(n) << endl;
    return 0;
}

输入：7
【解析】模拟递归调用的结果如下：

f(1)	f(2)	f(3)	f(4)	f(5)	f(6)	f(7)
1	2	-1	3	-4	7	-11

输出：-11
2.

#include <iostream>
using namespace std;
const int SIZE = 100;
int main()
{
    int p[SIZE];
    int n, tot, i, cn;
    tot = 0;
    cin >> n;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = 1;
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(p[i] == 1)
            tot++;
        cn = i * 2;
        while(cn <= n)
        {
            p[cn] = 0;
            cn += i;
        }
    }
    cout << tot << endl;
    return 0;
}

输入：30
输出：10
【解析】埃氏筛素数法。
对正实数$x$，定义$π(x)$为不大于$x$的素数个数， $π(x)≈x/ln x$， 其中$lnx=log_e^x$，为$x$的自然对数， $e=2.718281828...$，$ln30≈3$。

完善程序

（最大子矩阵和）给出 $m$ 行 $n$ 列的整数矩阵,求最大的子矩阵和(子矩阵不能为空)。
输入第一行包含两个整数 $m$ 和 $n$，即矩阵的行数和列数。之后 $m$ 行,每行 $n$ 个整数，描述整个矩阵。程序最终输出最大的子矩阵和。

#include <iostream>
using namespace std;
const int SIZE = 100;
int matrix[SIZE + 1][SIZE + 1];
int rowsum[SIZE + 1][SIZE + 1]; //rowsum[i][j]记录第 i 行前 j 个数的和
int m, n, i, j, first, last, area, ans;
int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        for(j = 1; j <= n; j++)
            cin >> matrix[i][j];
    ans = matrix ①;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        ②
    for(i = 1; i <= m; i++)
        for(j = 1; j <= n; j++)
            rowsum[i][j] = ③;
    for(first = 1; first <= n; first++)
        for(last = first; last <= n; last++)
        {
            ④;
            for(i = 1; i <= m; i++)
            {
                area += ⑤;
                if(area > ans)
                    ans = area;
                if(area < 0)
                    area = 0;
            }
        }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【解析】利用前缀和的思想，计算出矩阵第i行前j列的和rowsum[i][j]。枚举所有列的组合，求出子矩阵和的最大值。
- 空①，初始化ans，让其等于矩阵第一行第一列的值matrix[1][1]，所以应填入[1][1]
- 空②，初始化每行前缀和数组的第0项，将其置为$0$，用于之后计算前缀和，所以应填入rowsum[i][0]=0
- 空③，计算第i行的前缀和，所以应填入rowsum[i-1]+matrix[i][j]
- 空④，初始化area为$0$，所以应填入area=0
- 空⑤，使用前缀和数组计算first列到last列的和，rowsum[i][last]-rowsum[i][first-1]。

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