【bzoj3930】选数 容斥原理+暴力

Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

Sol

首先最重要的条件：\(H-L\)在\(10^5\)以内，这说明区间内\(gcd(i,j)<10^5\)，那么我们可以直接枚举gcd是多少，然后进行计算。

具体地，我们把H和L都/=K，这样所求变成了\(gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1\)的方案数。

我们设\(f[i]\)表示区间内\(gcd\)为i的方案数，那么\(f[i]\)可以再次通过除以\(i\)然后直接求区间长度的方式解决，但是这样我们会把\(\sum_{i|d}f[d]\)也算上，所以需要把i倍数的d减掉，倒推即可。

本题的三个小细节：

1. 如果K在L和R的范围内，那么ans++。
2. 如果\(L\%K\)不等于0，那么新的L等于\(L/K+1\)，因为原来的L往后一小部分是不合法的，要去掉，内层统计时亦是如此。
3. 要减去N个数都相同的方案，因为显然这种方案不成立，具体地，快速幂后面减个len就行。

时间复杂度\(O(nlogn)\)。

Code

#include <cstdio>
int N,K,L,R,l,r,M,m,F,f[100005],P=1e9+7;
int ksm(int a,int b){int res=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%P) if(b&1) res=1ll*res*a%P;return res;}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&N,&K,&L,&R);
    if(L<=K&&K<=R) F++;
    L=L%K?L/K+1:L/K,R/=K,M=R-L+1;
    for(int i=M;i;i--)
    {
        l=L%i?L/i+1:L/i,r=R/i,m=r-l+1;
        if(l<r){f[i]=(ksm(m,N)-m+P)%P;for(int j=(i<<1);j<=M;j+=i) f[i]=(f[i]-f[j]+P)%P;}
    }
    printf("%d\n",(F+f[1])%P);
}