回溯法求解骑士问题/马周游问题 (C++)
实验课程：算法分析与设计
实验名称：回溯法的应用[骑士问题] （综设型实验）
第一部分 实验内容
1．实验目标
(1)熟悉使用回溯法求解问题的基本思路。
(2)掌握回溯算法的程序实现方法。
(3)理解回溯算法的特点。
2.实验任务
(1)从所给定的题目中选择一题，使用回溯法求解之。
(2)用文字来描述你的算法思路，包括解空间、限界函数、算法主要步骤等。
(3)使用C/C++语言编程实现算法。
(4)记录运行结果，包括输入数据，问题解答及运行时间。
(5)分析算法最坏情况下时间复杂度和空间复杂度。
(6)谈谈实验后的感想，包括关于该问题或类似问题的求解算法的建议。
3.实验设备及环境
PC；C/C++等编程语言。
4.实验主要步骤
(1) 根据实验目标，明确实验的具体任务；
(2) 设计求解问题的回溯算法，并编写程序实现算法；
(3) 设计实验数据并运行程序、记录运行的结果；
(4) 分析算法时空性能；
(5) 实验后的心得体会。
第二部分 问题及算法
1. 问题描述
[骑士问题]：在n*n的棋盘上，指定马的初始位置，按照马跳日的规则，给出马跳过棋盘每格恰好一次最后回到出发位置的一种跳法。
2.回溯法的一般思路
骑士问题，即马周游棋盘，也就是要遍历棋盘中的所有格子有且只能一次，那么很显然就是一个图的遍历问题了。
3.求解问题的回溯算法描述
1、使用Warnsdorff's rule。在当前位置（Now）考虑下一个位置（Next）的时候，优先选择下一个的位置（Next）走法最少的那个。作为当前位置（Now）的下一位置（Next）。
譬如说：当前位置现在要确定下一位置，那么就要所有的下一个位置进行考察，看看假如走到下一个位置，它的下一个位置又有多少种走法，选择下一个位置可能走法最少的作为当前位置（Now）的下一个位置（Next）。
2、在进行了第一点的剪枝后，如果可以优先选择的下一个位置不止一个，则优先选择离中心位置较远的位置作为下一步（即靠近边边的位置）。
通俗点理解，第一点的剪枝就是走那些位置可能走到机会比较小的，反正走到的机会小，那么先走完总是好的，要不然你兜一圈回来，还是要走这一个位置的。
第二点的剪枝就是走法尽量从边边走，然后是往中间靠。
3、第三点的剪枝，每次都从棋盘的中间点开始出发，然后求出一条合法路径后再平移映射回待求路径。
所谓马周游棋盘，最后还要回到起点。也就是在棋盘中找到一条哈密顿回路。那么不管你是从哪里开始的，最后都是会在这个哈密顿回路中的，那么选取的中点的位置也肯定是在这个回路上的。
最后，找到这个这个以中点为起点的哈密顿回路后，根据设定起点在这个回路中的序号，映射回以这个位置为起点的马周游路线即可。
4. 算法实现的关键技巧
关于第一点和第二点的剪枝，二者关联很大。那么我们可以将二者结合起来。放到一个结构体中，这个结构体表征是的是下一位置。
typedef struct NextPos {
int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法；走法少的优先考虑
int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位
int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离；距离中间点远的优先考虑
bool operator < (const NextPos &a) const {
return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength;
}
};
注意其中，下一位置走法少的优先，下一位置距离中点远的优先。
这样我们在挑选下一个位置的时候，可以将符合要求的放到一个优先队列中，这样选取下一位置的时候直接从优先队列拿出了就好了（省去排序的工作）。
（2）关于第三点的剪枝，其实就是涉及到最后输出结果，这个比较简单。
第三部分 实验结果与分析
1. 实验数据及结果
测试数据和运行输出及结果
8*8 从(1,1)开始
2. 实验分析及结论
结论：马可以从任何一格出发恰好访问每个方格一次，并回到起始位置上。
第四部分 心得与展望
1. 自我评价及心得体会
回溯法并不简单，参考了许多资料才略知一二。
2. 展望
超过20的棋盘执行非常缓慢，希望未来能够优化它。
第五部分 附录
源程序
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <queue>
using namespace std;
typedef struct {
int x;
int y;
} Step;
Step step[8] = { {-2, -1}, {-1, -2}, { 1, -2}, { 2, -1}, { 2, 1}, { 1, 2}, {-1, 2}, {-2,1} };
struct NextPos {
int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法；走法少的优先考虑
int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位
int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离；距离中间点远的优先考虑
bool operator < (const NextPos &a) const {
return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength;
}
};
int board[100][100];
int M,N; //棋盘大小
//检测这个位置是否可以走
bool check(int x, int y) {
if (x >= 0 && x < M && y >= 0 && y < N && board[x][y] == 0)
return true;
return false;
}
//下一位置有多少种走法
int nextPosHasSteps(int x, int y) {
int steps = 0;
for (int i = 0; i < 8; ++i) {
if (check(x + step[i].x, y + step[i].y))
steps++;
}
return steps;
}
//判断是否回到起点
bool returnStart(int x, int y) {
//校验最后是否可以回到起点，也就是棋盘的中间位置
int midx,midy;
midx = M / 2 - 1;
midy = N / 2 - 1;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
if (x + step[i].x == midx && y + step[i].y == midy)
return true;
return false;
}
//输出结果
void outputResult(int xstart,int ystart) {
int num = M * N;
int k = num - board[xstart][ystart];
for (int i = 0; i < M; ++i) {
cout<<endl<<endl;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
board[i][j] = (board[i][j] + k) % num + 1;
cout<<setw(5)<<board[i][j];
}
}
cout<<endl<<endl;
}
//某一位置距离棋盘中心的距离
int posToMidLength(int x,int y) {
int midx = M / 2 - 1;
int midy = N / 2 - 1;
return (abs(x - midx) + abs(y - midy));
}
void BackTrace(int t, int x, int y,int xstart,int ystart) {
//找到结果
if (t == M * N && returnStart(x,y)) {//遍历了棋盘的所以位置，并且最后可以回到起点，形成回路
outputResult(xstart,ystart);
exit(1);
}
else {
priority_queue<NextPos> nextPosQueue;
for (int i = 0; i < 8; ++i) {
if (check(x + step[i].x, y + step[i].y)) {
NextPos aNextPos;
aNextPos.nextPosSteps = nextPosHasSteps(x + step[i].x, y + step[i].y);
aNextPos.nextPosDirection = i;
aNextPos.nextPosToMidLength = posToMidLength(x + step[i].x,y + step[i].y);
nextPosQueue.push(aNextPos);
}
}
while(nextPosQueue.size()) {
int d = nextPosQueue.top().nextPosDirection;
nextPosQueue.pop();
x += step[d].x;
y += step[d].y;
board[x][y] = t + 1;
BackTrace(t + 1, x, y,xstart,ystart);
//回溯
board[x][y] = 0;
x -= step[d].x;
y -= step[d].y;
}
}
}
void horseRun(int xstart,int ystart) {
//初始化棋盘
for (int i = 0; i < M; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
board[i][j] = 0;
int midx = M / 2 -1;
int midy = N / 2 -1;
board[midx][midy] = 1; //从棋盘的中间的位置开始马周游
BackTrace(1, midx, midy,xstart,ystart);
}
int main() {
//马周游起始位置
int x, y;
cout<<"请输入棋盘大小m*n 要求：|m-n|<=2 且 m和n都为偶数 且 m,n < 20 :";
cin>>M>>N;
cout<<"请输入马周游起始位置--横纵坐标0 <= x < "<<M<<"和0 <= y < "<<N<<" :";
cin>>x>>y;
horseRun(x,y); //执行马周游
return 0;
}
参考文献
[1] 算法设计技巧与分析 [沙特] M.H.Alsuwaiyel(阿苏外耶)著 （电子工业出版社）