【数据结构与算法】（2）算法复杂度（时间空间）

一、算法复杂度

算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。应用于数学和计算机导论。

程序运行时需要占用的时间（运行时间）和空间（占用的存储空间）

1.简介

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。
一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

在现实生活中，我们总希望有更好的方法去解决某一个问题。我们在编写程序时也是如此，一个问题可用不同算法去解决，但是占用的资源（时间和空间）不同，所以需要考虑一个算法的优劣。

一个算法的评价主要从 时间复杂度 和 空间复杂度 来进行考虑。

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

时间复杂度：算法程序运行需要的时间。你可不想你写的一个简单程序跑一年都跑不完吧。

空间复杂度：算法程序运行占用的空间。你可不想你的程序把内存资源都占用完吧。

二、时间复杂度

1 时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
 
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
 
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

我们没必要知道某个算法花费多少时间，我只关注多个算法中哪一个算法花费的时间少就可以了。

一个算法花费的时间和算法中语句的执行次数成正比例。也就是说，某个算法语句执行次数多，那他花费的时间也越多。反之同理。

一个算法的语句执行次数称为 语句频度 或 时间频度。记作 T(n) ，T是Time的首字母。

2 时间复杂度

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。
 
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，存在一个正常数c使得fn*c>=T(n)恒成立。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
 
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)，另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n²+3n+4 与 T(n)=4n²+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

我们知道了当问题规模n不断变化时，时间频度T(n)会不断变化。但是有时候我们想知道n变化时T(n)会呈现出什么规律，为此引入了 时间复杂度 概念。

问题规模n变化时T(n)呈现的规律，记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))。也称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

打比方，仅仅是为了理解：

• 比方1：在一个算法中执行语句只会执行3次（是一个常数）。
  此时算法中语句执行的次数为一个常数，则该算法时间复杂度为O(1)。这边的1代表常数。

• 比方2：在一个算法中，假设问题输入大小为n。随着n的不断增大，当n趋于无穷大时，得到该算法的时间复杂度O(n)。

• 比方3：T(n) = n²+3n+4 和 T(n) = 4n²+2n+1，他们的时间频度可能不同，但是算法时间复杂度相同。
  去除比n²小的，得到时间复杂度O(n²)。

1.常见的时间复杂度

• 按数量级递增排列，时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
  O(1 ) < O(logn) < O(n) < O(n*logn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

2.代码举例

时间复杂度为O(1)算法举例：

    public void function(int n) {
        System.out.println(1);
        System.out.println(1);
        System.out.println(1);
    }

时间复杂度为O(n)算法举例：

    public void function(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println(1);
        }
    }

时间复杂度为O(n²)算法举例：

    public static void function(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                System.out.println(1);
            }
        }
    }

三、空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作:S(n)=O(f(n))
 
算法执行期间所需要的存储空间包括3个部分：
  算法程序所占的空间；
  输入的初始数据所占的存储空间；
  算法执行过程中所需要的额外空间。

与时间复杂度类似，空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需（临时占用所需）存储空间（占用大小）的度量。
记作S(n) = O(f(n))，S为Space的缩写。

通常来说，只要算法不涉及到动态分配的空间以及递归、栈所需的空间，空间复杂度通常为0(1)。

算法的空间复杂度并不是计算时实际占用的空间，而是计算整个算法的辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系。

四、总结（时间空间复杂度）

对于一个算法，时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当追求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。
另外，算法的所有性能之间都存在着或多或少的相互影响。因此，当设计一个算法(特别是大型算法)时，要综合考虑算法的各项性能，算法的使用频率，算法处理的数据量的大小，算法描述语言的特性，算法运行的机器系统环境等各方面因素，才能够设计出比较好的算法。算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。

一个算法中的时间复杂度和空间复杂度往往时相互影响的。

有时候我们需要用时间换空间，有需要用空间换时间。

最后

再分享一个 算法复杂度速查表 ，希望对你们有帮助。

算法复杂度速查表翻译地址：https://liam.page/2016/06/20/big-O-cheat-sheet/

算法复杂度速查表原文地址：https://www.bigocheatsheet.com/

以上就是学习算法复杂度的笔记和我的理解分享，如果对你有帮助欢迎点赞。如有不足之处，望留言或私信指正。

参考

算法复杂度：https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6/210801
时间复杂性：https://baike.baidu.com/item/%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E6%80%A7/5930669

相关

【数据结构与算法】目录