学习笔记 #_# 算法效率的度量方法/时间复杂度/空间复杂度（小甲鱼《数据结构和算法》）NO.3

算法效率的度量方法：

1. 事后统计方法：主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
2. 事前分析估算方法：

影响程序在计算机运行时间的因素有：

1. 算法采用的策略、方案
2. 编译产生的代码质量
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度

我们研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确地定位需要执行多少次。
（我们在判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高项）的阶数。）

算法时间复杂度
定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

• 我们用大写**O()**来体现算法的时间复杂度的记法，称之为大O记法。
• 随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

下面来看一下一些计算时间复杂度的例子：

ex1.c

int sum=0,n=100;
printf("i love c\n");
printf("i love c\n");
printf("i love c\n");
printf("i love c\n");
printf("i love c\n");
sum=(1+n)*n/2;

这里的时间复杂度是 O(1) (常数阶)

ex2.c

int i,n=100,sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
	sum=sum+i
}

这里的时间复杂度是 O(n) （线性阶）

ex3.c

int i,j,n=100,sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
	for(j=0;j<n;j++)
	{
		sum=sum+i
	}	
}

这里的时间复杂度是 O(n²) （平方阶）

ex4.c

int i=1,n=100;
while(i<n)
{
	i=i*2;
}

这里的时间复杂度是 O(log₂n) (对数阶)

解析：由于每次i*2之后，就离n更近一步，假设有x个2相乘大于或等于n，则会退出循环，于是2^x=n，得到x=log₂n，所以这个循环的时间复杂度为O(log₂n)

空间复杂度
定义：算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。
当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。
如今，大部分时候算法的追求都是与时间复杂度的关系较大。