最短路——floyd算法

1. Floyd算法的介绍

• 算法的特点：
  弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

• Floyd-Warshall算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。例如下面这个图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径。因为1->2->3->1->2->3->…->1->2->3这样路径中，每绕一次1->-2>3这样的环，最短路就会减少1，永远找不到最短路。其实如果一个图中带有“负权回路”那么这个图则没有最短路。

• 

• 算法的思路

通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入两个矩阵，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。矩阵P中的元素b[i][j]，表示顶点i到顶点j经过了b[i][j]记录的值所表示的顶点（即i-->b[i][j]-->j）。

假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵D和矩阵P进行N次更新。初始时，矩阵D中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞，矩阵P的值为顶点b[i][j]的j的值。 接下来开始，对矩阵D进行N次更新。第1次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][0]+a[0][j]”(a[i][0]+a[0][j]表示”i与j之间经过第1个顶点的距离”)，则更新a[i][j]为”a[i][0]+a[0][j]”,更新b[i][j]=b[i][0]。 同理，第k次更新时，如果”a[i][j]的距离” > “a[i][k-1]+a[k-1][j]”，则更新a[i][j]为”a[i][k-1]+a[k-1][j]”,b[i][j]=b[i][k-1]。更新N次之后，操作完成！

2. Floyd算法的实例过程

上面，我们已经介绍了算法的思路，如果，你觉得还是不理解，那么通过一个实际的例子，把算法的过程过一遍，你就明白了，如下图，我们求下图的每个点对之间的最短路径的过程如下：

第一步，我们先初始化两个矩阵，得到下图两个矩阵：

、

第二步，以v1为中阶，更新两个矩阵：
发现，a[1][0]+a[0][6] < a[1][6] 和a[6][0]+a[0][1] < a[6][1]，所以我们只需要矩阵D和矩阵P，结果如下：

通过矩阵P，我发现v2–v7的最短路径是：v2–v1–v7

第三步：以v2作为中介，来更新我们的两个矩阵，使用同样的原理，扫描整个矩阵，得到如下图的结果：

OK，到这里我们也就应该明白Floyd算法是如何工作的了，他每次都会选择一个中介点，然后，遍历整个矩阵，查找需要更新的值，下面还剩下五步，就不继续演示下去了，理解了方法，我们就可以写代码了。

floyd算法裸题：https://vjudge.net/contest/239724#status/20172202939/B/0/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
int maze[110][110];
int main()
{
   int i,j,n;
   while(~scanf("%d",&n)&&n)
   {
      for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
          maze[i][j]=(i==j?0:inf);
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
         int a,b,m;
         scanf("%d",&m);
         for(j=0;j<m;j++){
             scanf("%d%d",&a,&b);
             maze[i][a]=b;
          }
      }

      //floyd 拿一个点去更新所有两点之间的最短距离，直至所有的点都用完
      for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
          for(int k=1;k<=n;k++)
            maze[j][k]=min(maze[j][k],maze[j][i]+maze[i][k]);
      int t,u,ans,minn=inf;
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
         ans=0;
         for(j=1;j<=n;j++)
            if(maze[i][j]>ans)
               ans=max(ans,maze[i][j]);
         if(minn>ans)
         {
            minn=ans;
            u=i;
         }
      }
      if(minn==inf)
         printf("disjoint\n");
      else
         printf("%d %d\n",u,minn);
   }
   return 0;
}