补码原理——负数为什么要用补码表示

文首

  我们都知道负数在计算机中是以补码（忘了补码定义的戳这里）表示的，那为什么呢？本文尝试了解补码的原理，而要想理解它，首先得理解算术中“模”的概念。所以首先看一下什么是模，然后通过一个小例子来理解补码。

1 模（Modulo）

1.1 什么是模数

In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers “wrap around” upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).

1.1.1 理解

  模是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也是一个计算器，它也是有一个计量范围，即都存在一个“模”。
  如时钟的计量范围是0~11，模 = 12。
  32位计算机的计量范围是2^³²，模 = 2^³²。
  “模”是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数，如12的余数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。

1.2 补数

  假设当前时针指向11点，而准确时间是8点，调整时间可有以下两种拨法：

• 一种是倒拨3小时，即：11-3=8
• 另一种是顺拨9小时：11+9=12+8=8

  在以模为12的系统中，加9和减3效果是一样的，因此凡是减3运算，都可以用加9来代替。对“模”12而言，9和3互为补数（二者相加等于模）。所以我们可以得出一个结论，即在有模的计量系统中，减一个数等于加上它的补数，从而实现将减法运算转化为加法运算的目的。

1.3 再谈“模”

  从上面的化减法为加法，以及所谓的溢出等等可以看到，“模”可以说就是一个太极，阴阳转化，周而复始，无始无终，循环往复。

2 补码原理

  计算机上的补码就是算术里的补数。
  设我们有一个 4 位的计算机，则其计量范围即模是
2^⁴ = 16，所以其能够表示的范围是0~15，现在以计算 5 - 3为例，我们知道在计算机中，加法器实现最简单，所以很多运算最终都要转为加法运算，因此5-3就要转化为加法：

 # 按以上理论，减一个数等于加上它的补数，所以
 5 - 3
 # 等价于 
 5 + (16 - 3)   // 算术运算单元将减法转化为加法
 # 用二进制表示则为：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等价于
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等价于
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等价于
 0101 + (1 + 1100) // 括号内是3（0011）的反码+1，正是补码的定义
 # 等价于
 0101 + 1101
 # 所以从这里可以得到
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在计算机中的二进制表示为 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的补码（`1101`）”。

  因为我们的计算机是 4 位的，第一位“溢出”了，所以我们只保存了 4 位，即 0010，而当计算机去读取时这正是我们所期望的 2！！叹为观止吧，天才般的设计！感恩伏羲、莱布尼兹和冯诺依曼！

文末

  一阴一阳之谓道。万事万物，阴阳转化，周而复始，无始无终，循环往复。