自抗扰控制（ADRC）—— 一阶系统

问题描述

使用 ADRC 控制任意一阶系统：
$\dot{x} = f(x,t)+u$x˙=f(x,t)+u其中$f$f表示系统所受的总扰动，包含未知的外扰和未建模的内部动态。

这里的仿真实验中测试的总扰动为：
$f(x,t) = x^2 + 0.5 \, \text{sign}(\sin(2t)) + \cos(xt)$f(x,t)=x2+0.5sign(sin(2t))+cos(xt)而且控制器不应该知道该具体形式。

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控制目标为使得$x$x输出如下形状的信号：

代码

总扰动和目标信号

def f(x,t):
    return x**2 + 0.5*np.sign(np.sin(2*t)) + np.cos(x*t)

def target(t):
    if t < 10:
        return np.sign(np.sin(0.8*t))  
    elif t < 20:
        return 2*(0.5*t-int(0.5*t)-0.5)
    else:
        return np.sin(0.8*t)

定义一个类保存时间序列，方便画图

class Logger:
    def __init__(self):
        self.data = {}
    
    def add(self, key, value):
        if key not in self.data:
            self.data[key] = []
        self.data[key].append(value)

    def plot(self, keys=None):
        plt.figure(figsize=(20,10))
        if keys is None:
            for k in self.data:
                plt.plot(self.data[k], label=k)    
        else:
            for k in keys:
                plt.plot(self.data[k], label=k)
        plt.legend()
        plt.show()     

一个常用的非线性误差函数，具有小误差大增益，大误差小增益的特性。

def fal(x, alpha=0.5, delta=0.1):
    return  x/np.power(delta,1-alpha) if np.abs(x)<delta else np.power(np.abs(x), alpha)*np.sign(x)

使用欧拉积分做数值积分

logger = Logger()
h = 0.01
T = 30
N = int(T/h)

r0 = 5  # r0调控过渡的快慢

# 一些初值的设定
v1 = 0
z1,z2 = 0,0
x = 0
y = x
u = 0
for i in range(N):
    t = i*h
    
    # 目标信号
    v = target(t)

    # 过渡过程 v1 -> v, v1的过渡比v更加平缓
    v1 += h*r0*fal(v-v1, 0.5, h) 
    
    # ESO: z1 -> y, z2 = \dot{z1}
    e = y - z1
    fe = fal(e, 0.5, h)
    z1 += h*(z2 + 100*e + u)
    z2 += h*(300*fe)
    
    # 误差反馈
	# e1 = v1 - y 
    e1 = v1 - z1
    u = 10*fal(e1,0.5,0.1) - z2
    
    # 系统状态更新
    w = f(x,t)
    x += h*(w + u)
    
    # 输出 
    y = x

    logger.add('v1',v1)
    logger.add('y',y)
    logger.add('v',v)
    logger.add('u',u)
    logger.add('z2', z2)
    logger.add('w', w)

logger.plot(['v'])
logger.plot(['v','v1','y'])
logger.plot(['w','z2','u'])

结果展示如下，v代表真实目标信号，$v_1$v1​是v的平滑过渡，y是实际输出

w 代表真实总扰动，$z_2$z2​是对总扰动的跟踪，u是控制输入

下面我来增大 $r_0:5\rightarrow 10$r0​:5→10，意味着过渡信号$v_1$v1​更加逼近真实信号$v$v


过渡过程越短，意味着要在更短的时间做出同样的变化，自然就要求控制量$u$u的绝对值要增大，从上图可以看出这一点。