并查集简单入门
<本文非完全原创>
并查集的定义
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。
并查集的用途
①维护一个无向图的连通性，判断n个点m条边时，最少加多少边可以连通所有点。
②判断在一个无向图中，两点间加边是否会产生环。（最小生成树克鲁斯卡尔中有用到）
③维护集合等操作。
并查集的操作
所谓并查集，顾名思义操作就两种：
①并：合并两个集合。
②查：查找两个元素是否在一个集合。
并查集的原理
先来看一篇小故事。
话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
下面我们来看并查集的实现：
-> int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定）
-> pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。
-> 如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。
-> 也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。
每个人都只认自己的上级。
比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。
find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。
int find(int r) //查找（r）的掌门
{
while (pre[r] != r) //如果r的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门）
r = pre[r]; // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。
return r; //掌门驾到~~~
}
再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我*！”*无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧？
void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝
if(fx!=fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人
pre[fx]=fy; //玄慈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}
关于合并操作的一个优化：
如果是按照这样强行指定一个树合并的另一个树中而不加以判断，那么很容易造出一个极不平衡的树，就像下图一样
接前面的例子来说，玄慈很火大的说凭什么让我当他的手下，明明我的人手比她多，不行我不服，为了平息方丈的怨气懒懒的老天终于又加了一项规定，门派人手少的给人手多的当手下，人手相同时候老天指定。终于这样大家都满意了，这样就保证了树可以维持在一个比较平衡的程度。
（注意：合并时一定要分清谁合并到谁身上了！）
<按秩合并>：即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
// rank[]初始化是都为1，代表手下的人数
void join(int x,int y) //我想让虚竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //玄慈是虚竹的老大，灭绝是芷若的老大
if(fx != fy) //玄慈和灭绝显然不是同一个人
{
if(rank[fx] >= rank[fy]) //俩人开始比谁的手下多
｛
pre[fy]=fx; //玄慈人数多,成了老大
rank[fx] += rank[fy]； //灭绝的手下都归玄慈
｝
else
{
pre[fx]=fy; //灭绝人数多，成了老大
rank[fy] += rank[fx]； //玄慈的手下都归灭绝
}
}
}
关于按照秩来合并也有按照树的层数来合并，这样可以把查询的次数保持在log的水平，但是如果同时用了路径压缩的话，树的层数就很难维护，所以我这里采用子孙节点的数量来维护。
再来看看路径压缩算法。
建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是自己人，失礼失礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。查询和路径压缩都有递归和非递归两种方法，递归好写，非递归好懂。什么时候用那个视情况而定。
// 非递归写法
int find(int r)
{
int p1=r,p2; //p1保存这位大虾
while(r!=pre[r])
r=pre[r]; //r最终存下的是掌门
while(pre[p1]!=r) //如果说大虾本人不是掌门r
{
p2=pre[p1]; //存下这位大虾的上级
pre[p1]=r; //先告诉这位大虾掌门是谁
p1=p2; //再去找这位大虾的上级告诉他掌门是谁
}
return r;
}
//递归写法
int find(int r)
{
if(pre[r]!=r)
pre[r]=find(pre[r]); //找的祖先递归赋值，将本次查找经过的每
//个节点都直接连到祖先节点上
return pre[r];
}
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并查集记录秩算法水题：http://www.cnblogs.com/kannyi/p/8515995.html