洗牌算法

洗牌算法

我知道大家会各种花式排序算法，但是如果叫你打乱一个数组，你是否能做到胸有成竹？即便你拍脑袋想出一个算法，怎么证明你的算法就是正确的呢？乱序算法不像排序算法，结果唯一可以很容易检验，因为「乱」可以有很多种，你怎么能证明你的算法是「真的乱」呢？

所以我们面临两个问题：

1. 什么叫做「真的乱」？
2. 设计怎样的算法来打乱数组才能做到「真的乱」？

这种算法称为「随机乱置算法」或者「洗牌算法」。

本文分两部分，第一部分详解最常用的洗牌算法。因为该算法的细节容易出错，且存在好几种变体，虽有细微差异但都是正确的，所以本文要介绍一种简单的通用思想保证你写出正确的洗牌算法。**第二部分讲解使用「蒙特卡罗方法」**来检验我们的打乱结果是不是真的乱。蒙特卡罗方法的思想不难，但是实现方式也各有特点的。

一、洗牌算法

此类算法都是靠随机选取元素交换来获取随机性，直接看代码（伪码），该算法有 4 种形式，都是正确的：

// 得到一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数
int randInt(int min, int max);
​
// 第一种写法
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length();
    /******** 区别只有这两行 ********/
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        // 从 i 到最后随机选一个元素
        int rand = randInt(i, n - 1);
        /*************************/
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}
​
// 第二种写法
    for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
        int rand = randInt(i, n - 1);
​
// 第三种写法
    for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);
​
// 第四种写法
    for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
        int rand = randInt(0, i);

分析洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，否则就是错误的。这个很好解释，因为一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须能够反映这个事实，才是正确的。

我们先用这个准则分析一下第一种写法的正确性：

// 假设传入这样一个 arr
int[] arr = {1,3,5,7,9};
​
void shuffle(int[] arr) {
    int n = arr.length(); // 5
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        int rand = randInt(i, n - 1);
        swap(arr[i], arr[rand]);
    }
}

for 循环第⼀轮迭代时， i = 0 ， rand 的取值范围是 [0, 4] ， 有 5 个可
能的取值。

for 循环第⼆轮迭代时， i = 1 ， rand 的取值范围是 [1, 4] ，有 4 个可
能的取值。

后⾯以此类推，直到最后⼀次迭代， i = 4 ， rand 的取值范围是 [4, 4] ，只有 1 个可能的取值。

可以看到，整个过程产⽣的所有可能结果有 n! = 5! = 54321 种，所以
这个算法是正确的。

分析第⼆种写法，前⾯的迭代都是⼀样的，少了⼀次迭代⽽已。所以最后⼀ 次迭代时 i = 3 ， rand 的取值范围是 [3, 4] ，有 2 个可能的取值。

// 第⼆种写法
// arr = {1,3,5,7,9}, n = 5
for (int i = 0 ; i < n - 1; i++) int rand = randInt(i, n - 1);

所以整个过程产⽣的所有可能结果仍然有 543*2 = 5! = n! 种，因为乘以
1 可有可⽆嘛。所以这种写法也是正确的

如果以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第⼀种写法，只 是将数组从后往前迭代⽽已；第四种写法是第⼆种写法从后往前来。所以它 们都是正确的。

如果读者思考过洗牌算法，可能会想出如下的算法，但是这种写法是错误 的：

void shuffle(int[] arr) { int n = arr.length();
for (int i = 0 ; i < n; i++) {
// 每次都从闭区间  [0, n-1]
// 中随机选取元素进⾏交换
	int rand = randInt(0, n - 1); swap(arr[i], arr[rand]);
	}
}

现在你应该明⽩这种写法为什么会错误了。因为这种写法得到的所有可能结
果有 $n^n$nn 种，⽽不是 $n!$n! 种，⽽且 $n^n$nn 不可能是 $n!$n! 的整数倍。

⽐如说 arr = {1,2,3} ，正确的结果应该有 $3!= 6$3!=6 种可能，⽽这种写法总 共有 $3^3 = 27$33=27 种可能结果。因为 27 不能被 6 整除，所以⼀定有某些情况 被「偏袒」了，也就是说某些情况出现的概率会⼤⼀些，所以这种打乱结果 不算「真的乱」。

上⾯我们从直觉上简单解释了洗牌算法正确的准则，没有数学证明，我想⼤ 家也懒得证明。对于概率问题我们可以使⽤「蒙特卡罗⽅法」进⾏简单验 证。

⼆、蒙特卡罗⽅法验证正确性

洗牌算法，或者说随机乱置算法的正确性衡量标准是：对于每种可能的结果 出现的概率必须相等，也就是说要⾜够随机。

如果不⽤数学严格证明概率相等，可以⽤蒙特卡罗⽅法近似地估计出概率是 否相等，结果是否⾜够随机。

记得⾼中有道数学题：往⼀个正⽅形⾥⾯随机打点，这个正⽅形⾥紧贴着⼀ 个圆，告诉你打点的总数和落在圆⾥的点的数量，让你计算圆周率。

这其实就是利⽤了蒙特卡罗⽅法：当打的点⾜够多的时候，点的数量就可以
近似代表图形的⾯积。通过⾯积公式，由正⽅形和圆的⾯积⽐值是可以很容 易推出圆周率的。当然打的点越多，算出的圆周率越准确，充分体现了⼤⼒ 出奇迹的真理。

类似的，我们可以对同⼀个数组进⾏⼀百万次洗牌，统计各种结果出现的次 数，把频率作为概率，可以很容易看出洗牌算法是否正确。整体思想很简 单，不过实现起来也有些技巧的，下⾯简单分析⼏种实现思路。

第⼀种思路，我们把数组 arr 的所有排列组合都列举出来，做成⼀个直⽅图
（假设 arr = {1,2,3}）：

每次进⾏洗牌算法后，就把得到的打乱结果对应的频数加⼀，重复进⾏ 100
万次，如果每种结果出现的总次数差不多，那就说明每种结果出现的概率应 该是相等的。写⼀下这个思路的伪代码：

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡罗
int N = 1000000;
HashMap count; // 作为直⽅图
for (i = 0; i < N; i++) { int[] arr = {1,2,3}; shuffle(arr);
// 此时  arr 已被打乱
count[arr] += 1；
}
for (int feq : count.values()) print(feq / N + " "); // 频率

这种检验⽅案是可⾏的，不过可能有读者会问，arr 的全部排列有 n! 种（n
为 arr 的⻓度），如果 n ⽐较⼤，那岂不是空间复杂度爆炸了？

是的，不过作为⼀种验证⽅法，我们不需要 n 太⼤，⼀般⽤⻓度为 5 或 6 的
arr 试下就差不多了吧，因为我们只想⽐较概率验证⼀下正确性⽽已。

第⼆种思路，可以这样想，arr 数组中全都是 0，只有⼀个 1。我们对 arr 进
⾏ 100 万次打乱，记录每个索引位置出现 1 的次数，如果每个索引出现的次 数差不多，也可以说明每种打乱结果的概率是相等的。

void shuffle(int[] arr);

// 蒙特卡罗⽅法
int N = 1000000;
int[] arr = {1,0,0,0,0};
int[] count = new int[arr.length]; for (int i = 0; i < N; i++) {
shuffle(arr); // 打乱  arr
for (int j = 0; j < arr.length; j++) if (arr[j] == 1) {
count[j]++; break;
}
}
for (int feq : count)
print(feq / N + " "); // 频率

这种思路也是可⾏的，⽽且避免了阶乘级的空间复杂度，但是多了嵌套 for
循环，时间复杂度⾼⼀点。不过由于我们的测试数据量不会有多⼤，这些问 题都可以忽略。

另外，细⼼的读者可能发现⼀个问题，上述两种思路声明 arr 的位置不同，
⼀个在 for 循环⾥，⼀个在 for 循环之外。其实效果都是⼀样的，因为我们 的算法总要打乱 arr，所以 arr 的顺序并不重要，只要元素不变就⾏。

三、最后总结

本⽂第⼀部分介绍了洗牌算法（随机乱置算法），通过⼀个简单的分析技巧 证明了该算法的四种正确形式，并且分析了⼀种常⻅的错误写法，相信你⼀ 定能够写出正确的洗牌算法了。

第⼆部分写了洗牌算法正确性的衡量标准，即每种随机结果出现的概率必须 相等。如果我们不⽤严格的数学证明，可以通过蒙特卡罗⽅法⼤⼒出奇迹， 粗略验证算法的正确性。蒙特卡罗⽅法也有不同的思路，不过要求不必太严 格，因为我们只是寻求⼀个简单的验证。