深入理解Android Matrix理论与使用的详解

以前在线性代数中学习了矩阵，对矩阵的基本运算有一些了解，前段时间在使用gdi+的时候再次学习如何使用矩阵来变化图像，看了之后在这里总结说明。
首先大家看看下面这个3 x 3的矩阵，这个矩阵被分割成4部分。为什么分割成4部分，在后面详细说明。

首先给大家举个简单的例子：现设点p0（x0， y0）进行平移后，移到p（x，y），其中x方向的平移量为△x，y方向的平移量为△y，那么，点p（x，y）的坐标为：
x = x0  + △x 
y = y0  + △y
采用矩阵表达上述如下： 

上述也类似与图像的平移，通过上述矩阵我们发现，只需要修改矩阵右上角的2个元素就可以了。
我们回头看上述矩阵的划分： 

为了验证上面的功能划分，我们举个具体的例子：现设点p0（x0 ，y0）进行平移后，移到p（x，y），其中x放大a倍，y放大b倍，

矩阵就是：，按照类似前面“平移”的方法就验证。

图像的旋转稍微复杂：现设点p0（x0， y0）旋转θ角后的对应点为p（x， y）。通过使用向量，我们得到如下：
x0 = r cosα 
y0 = r sinα
x = r cos(α+θ) = x0 cosθ - y0 sinθ 
y = r sin(α+θ) = x0 sinθ + y0 cosθ

于是我们得到矩阵：

如果图像围绕着某个点(a ，b)旋转呢？则先要将坐标平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点，在后面的篇幅中我们将详细介绍。

matrix学习——如何使用matrix

本篇幅我们就结合android 中的android.graphics.matrix来具体说明，还记得我们前面说的图像旋转的矩阵：

从最简单的旋转90度的是：

在android.graphics.matrix中有对应旋转的函数： 
matrix matrix = new matrix(); 
matrix.setrotate(90); 
test.log(maxtrix_tag,”setrotate(90):%s” , matrix.tostring());

查看运行后的矩阵的值（通过log输出）：

与上面的公式基本完全一样（android.graphics.matrix采用的是浮点数，而我们采用的整数）。
有了上面的例子，相信大家就可以亲自尝试了。通过上面的例子我们也发现，我们也可以直接来初始化矩阵，比如说要旋转30度：

前面给大家介绍了这么多，下面我们开始介绍图像的镜像，分为2种：水平镜像、垂直镜像。先介绍如何实现垂直镜像，什么是垂直镜像就不详细说明。图像的垂直镜像变化也可以用矩阵变化的表示，设点p0（x0 ，y0 ）进行镜像后的对应点为p（x ，y ），图像的高度为fheight，宽度为fwidth，原图像中的p0（x0 ，y0 ）经过垂直镜像后的坐标变为（x0 ，fheight- y0）； 
x = x0 
y = fheight – y0 
推导出相应的矩阵是：

final float f[] = {1.0f,0.0f,0.0f,0.0f,-1.0f,120.0f,0.0f,0.0f,1.0f}; 
matrix matrix = new matrix(); 
matrix.setvalues(f);

按照上述方法运行后的结果： 

至于水平镜像采用类似的方法，大家可以自己去试试吧。
实际上，使用下面的方式也可以实现垂直镜像： 
matrix matrix = new matrix(); 
matrix.setscale (1.0，-1.0); 
matrix.posttraslate(0, fheight);
这就是我们将在后面的篇幅中详细说明。

matrix学习——图像的复合变化

matrix学习——基础知识篇幅中，我们留下一个话题：如果图像围绕着某个点p(a，b)旋转，则先要将坐标系平移到该点，再进行旋转，然后将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点。

我们需要3步：
1. 平移——将坐标系平移到点p(a，b)；
2. 旋转——以原点为中心旋转图像；
3. 平移——将旋转后的图像平移回到原来的坐标原点；
相比较前面说的图像的几何变化（基本的图像几何变化），这里需要平移——旋转——平移，这种需要多种图像的几何变化就叫做图像的复合变化。
设对给定的图像依次进行了基本变化f1、f2、f3…..、fn，它们的变化矩阵分别为t1、t2、t3…..、tn，图像复合变化的矩阵t可以表示为：t = tntn-1…t1。
按照上面的原则，围绕着某个点(a，b)旋转θ的变化矩阵序列是：

按照上面的公式，我们列举一个简单的例子：围绕（100，100）旋转30度(sin 30 = 0.5 ，cos 30 = 0.866) 
float f[]= { 0.866f,  -0.5f, 63.4f,0.5f, 0.866f,-36.6f,0.0f,    0.0f,  1.0f }; 
matrix = new matrix(); 
matrix.setvalues(f); 
旋转后的图像如下：

android为我们提供了更加简单的方法，如下： 
matrix matrix = new matrix(); 
matrix.setrotate(30，100，100); 
矩阵运行后的实际结果： 



与我们前面通过公式获取得到的矩阵完全一样。
在这里我们提供另外一种方法，也可以达到同样的效果： 
float a = 100.0f,b = 100.0f; 
matrix = new matrix(); 
matrix.settranslate(a,b); 
matrix.prerotate(30); 
matrix.pretranslate(-a,-b); 
将在后面的篇幅中为大家详细解析
通过类似的方法，我们还可以得到：相对点p(a，b)的比例[sx,sy]变化矩阵

matrix学习——preconcats or postconcats?

从最基本的高等数学开始，matrix的基本操作包括：+、*。matrix的乘法不满足交换律，也就是说a*b ≠b*a。还有2种常见的矩阵：

有了上面的基础，下面我们开始进入主题。由于矩阵不满足交换律，所以用矩阵b乘以矩阵a，需要考虑是左乘（b*a），还是右乘（a*b）。在android的android.graphics.matrix中为我们提供了类似的方法，也就是我们本篇幅要说明的preconcats matrix 与 postconcats  matrix。下面我们还是通过具体的例子还说明：

通过输出的信息，我们分析其运行过程如下：

看了上面的输出信息。我们得出结论：preconcats matrix相当于右乘矩阵，postconcats  matrix相当于左乘矩阵。

matrix学习——错切变换

什么是图像的错切变换（shear transformation）？我们还是直接看图片错切变换后是的效果：

对图像的错切变换做个总结：

x = x0 + b*y0;
y = d*x0 + y0;

这里再次给大家介绍一个需要注意的地方：

通过以上，我们发现matrix的setxxxx()函数，在调用时调用了一次reset()，这个在复合变换时需要注意。

matrix学习——对称变换（反射）

什么是对称变换？具体的理论就不详细说明了，图像的镜像就是对称变换中的一种。

利用上面的总结做个具体的例子，产生与直线y= – x对称的反射图形，代码片段如下：

当前矩阵输出是：

图像变换的效果如下：

附：三角函数公式
两角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota) 
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2a=2sina*cosa
半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))
cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
和差化积
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) )
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)