spfa

　　\(spfa\) 算法的全称是： \(shortest\) \(path\) \(faster\) \(algorithm\) ，是 \(bellman-ford\) 算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。

基本原理

　　设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点 \(u\) ，并且用结点 \(u\) 当前的最短路径估计值对离开结点 \(u\) 所指向的结点 \(v\) 进行松弛操作，即判断是否有 \(dis[v]＞dis[u]＋w\) （ \(w\) 是连接 \(u\) 与 \(v\) 的边的长度），若有，则更新 \(dis[v]\) 。如果结点 \(v\) 的最短路径估计值有所调整，且结点 \(v\) 不在当前的队列中，就将结点 \(v\) 放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
　　\(spfa\) 在形式上和 \(bfs\) 非常类似，不同的是 \(bfs\) 中一个结点出了队列就不可能重新进入队列，但是 \(spfa\) 中一个结点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个结点改进过其它的结点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次将其加入队列，再次用来改进其它的结点。
　　每次将结点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个结点 \(v\) 的最短路径估计值 \(dis[v]\) 变小。所以算法的执行会使 \(dis\) 越来越小。若图中不存在负权环，则每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着 \(dis\) 值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
　　如果一个结点进入队列达到 \(n\) 次，则表明图中存在负权环，没有最短路径。

效率分析

　　在随机图中， \(spfa\) 的期望时间复杂度为 \(o(ke)\) ，其中 \(k\) 是常数，代表所有结点的平均入队次数（一般 \(k≤2\) ）， \(e\) 是边数。但往往因为出题人所造的毒瘤数据而被卡，导致复杂度退化为 \(o(ve)\) ，其中 \(v\) 是结点数。

核心代码

ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
void add(ll u,ll v,ll w)                    /*链式前向星存图*/
{
    edge[++cnt].u=u;
    edge[cnt].v=v;
    edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
queue<ll>q;
void spfa()
{
    for(ll i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf;         /*初始距离设为inf*/
    dis[s]=0;
    q.push(s);                              /*源点入队*/
    vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        ll u=q.front();                     /*队首元素出队*/
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next)  /*寻找与所有以队首 u 为起点的边*/
        {
            ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w)
            {
                dis[v]=dis[u]+w;            /*松弛操作*/
                if(!vis[v])                 /*若终点 v 不在队列中*/
                {
                    q.push(v);              /*入队*/
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}

例题解析

洛谷 p3371 【模板】单源最短路径（弱化版）

　　给出一个有向图 \(g＝＜v,e＞\) ，一个源点 \(s\) ，求点 \(s\) 到图中所有点的最短距离。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 10005
#define maxm 500005
#define inf 2147483647
template<class t>inline void read(t &x)
{
    x=0;register char c=getchar();register bool f=0;
    while(!isdigit(c))f^=c=='-',c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template<class t>inline void print(t x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
template<class t>inline void print(t x,char c){print(x),putchar(c);}
ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
void add(ll u,ll v,ll w)
{
    edge[++cnt].u=u;
    edge[cnt].v=v;
    edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
queue<ll>q;
void spfa()
{
    for(ll i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q.push(s);
    vis[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        ll u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next)
        {
            ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w)
            {
                dis[v]=dis[u]+w;
                if(!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    read(n),read(m),read(s);
    ll u,v,w;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        read(u),read(v),read(w);
        add(u,v,w);
    }
    spfa();
    for(ll i=1;i<=n;i++)print(dis[i],' ');
    return 0;
}