【差分约束(spfa版)】总结

[size=medium]KIDx 的解题报告[/size]
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/564239/e38e667f-31a8-31d7-8b87-798e36f8f74c.png[/img]
[b][size=medium]
[color=blue]先总结下：[/color]

[color=green]第一：[/color]
感觉难点在于建图
[color=green]第二：[/color]
[color=brown]①：对于差分不等式，a - b <= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最短路，得到的是最大值
②：对于不等式 a - b >= c ，建一条 b 到 a 的权值为 c 的边，求的是最长路，得到的是最小值
③：存在负环的话是无解
④：求不出最短路（dist[ ]没有得到更新）的话是任意解[/color]
[color=green]第三：[/color]
一种建图方法：
[color=brown]设x[i]是第i位置（或时刻）的值（跟所求值的属性一样），那么把x[i]看成数列，前n项和为s[n]，则x[i] = s[i] - s[i-1]；[/color]
那么这样就可以最起码建立起类似这样的一个关系：0 <= s[i] - s[i-1] <= 1;
其他关系就要去题目探索了

[color=blue]回到上面那些题目：[/color][color=green]

第一题：【POJ 1201/ZOJ 1508/HDU 1384 Intervals】
[/color][url]http://poj.org/problem?id=1201[/url]
题意：求符合题意的最小集合的元素个数
设x[i]是[color=red]{i}[/color]这个集合跟所求未知集合的交集元素个数，[color=red]明显最大只能是1[/color]
再设s[i] = x[0] + x[1] + …… + x[i]
明显的，s[i]表示集合[color=red]{0,1,2,3,……,i}[/color]与所求未知集合的交集元素个数
那么就有x[i] = s[i] - s[i-1]
∵0 <= x[i] <= 1
∴0 <= s[i] - s[i-1] <= 1
由于题目求最小值，所以是最长路，用的是[color=red]a - b >= c[/color]这种形式
即有：[color=red]①s[i] - s[i-1] >= 0; ②s[i-1] - s[i] >= -1;[/color]
按照题目输入a, b, c：
表示[color=red]{a,a+1,a+2,……,b}[/color](设这个集合是Q)与所求未知集合的交集元素个数[color=red]至少为c[/color]
而s[a-1]表示[color=red]{1,2,3,……,a-1}[/color]与所求未知集合的交集元素个数
s[b]表示[color=red]{1,2,3,……,a-1,a,a+1,a+2,……,b}[/color]与所求未知集合的交集元素个数
∴Q = s[b] - s[a-1];
即可建立关系: ③[color=red]s[b] - s[a-1] >= c;[/color]
但是还有一个问题a >= 0，那么a-1有可能不合法
解决方法：所有元素+1就可以了
实现：把③变成 [color=red]s[b+1] - s[a] >= c;[/color]

[color=green]第二题：【POJ 1275/ZOJ 1420/HDU 1529 Cashier Employment】[/color]
[url]http://poj.org/problem?id=1275[/url]
[color=blue]文章最后有附上这题的代码。
这题是这里面最难的一题，建图难，而且难以找出所有约束条件[/color]
[color=orange]先说明一下，这里我把编号设定为1-24，而不是题目的0-23，并且设0为虚点[/color]
设x[i]是[color=red]实际雇用[/color]的[color=red]i时刻开始工作的[/color]员工数
R[i]是题目需要的[color=red]i时刻正在工作的[/color][color=blue]最少员工数[/color]
[color=blue]注意了，[/color][color=red]i时刻开始工作[/color]跟[color=red]i时刻正在工作[/color][color=blue]是完全不同的[/color]
设s[i] = x[1] + x[2] + …… + x[i]
则s[i]表示1-i这段时间开始工作的员工数
再设num[i]表示[color=red]i时刻开始工作[/color]的[color=red]最多可以雇用的[/color]员工数
∴有0 <= x[i] <= num[i]
即 0 <= s[i] - s[i-1] <= num[i]
由于是求最小值，所以用最长路
则有：[color=red]①s[i] - s[i-1] >= 0；②s[i-1] - s[i] >= -num[i]；
[/color]([color=blue]1 <= i <= 24，虽然0是虚点，但是s[1] - s[0]也是必要的！因为x[1]也是有范围的！[/color])
由于员工可以持续工作8个小时(R[i]是i时刻正在工作的最少人数)
∴x[i-7] + x[i-6] + …… + x[i] >= R[i]【i-7开始工作的人在i时刻也在工作，其他同理】
即：[color=red]③s[i] - s[i-8] >= R[i][/color] ([color=blue]8 <= i <= 24[/color])
但是有个特殊情况，就是从夜晚到凌晨的一段8小时工作时间
(x[i+17] + …… + x[24]) + (x[1] + x[2] + …… + x[i]) >= R[i]；
则：s[24] - s[i+16] + s[i] >= R[i];
整理一下：[color=red]④s[i] - s[i+16] >= R[i] - [/color][color=blue]s[24][/color];
([color=blue]1 <= i < 8，注意i=0是没有意义的，因为R[0]没有意义[/color])
由于s[24]就是全天实际雇用的人数，而一共有n个员工可以雇用
所以设ans = s[24]
则：[color=red]⑤s[i] - s[i+16] >= R[i] - [/color][color=blue]ans[/color];[color=blue]( 1 <= i < 8 )[/color]
所以就可以从小到大暴力枚举ans【或二分枚举】，通过spfa检验是否有解即可【存在负环无解】
但是还有一个问题，起点在哪里……
这时候虚点0就起作用了，我称它为[color=red]超级起点[/color][img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/564384/e0b579af-6ce9-3268-b6f7-834d133d19fe.gif[/img]
于是建图后直接判断spfa(0)是否有解就可以了
[color=blue]PS：还有另外一个条件必须用到……：[/color][color=red]⑥s[24] - s[0] >= ans][/color]
不用这个条件二分枚举ans可以AC，但这只是数据问题，[color=red]暴力从小到大枚举木有这条件就会错，所以说这个条件最关键而又难找……要仔细找特殊点和虚点的约束关系[/color]

[color=green]第三题：【POJ 1364/ZOJ 1260/HDU 1531 King】[/color]
[url]http://poj.org/problem?id=1364[/url]
设s[i] = a[1] + a[2] + …… + a[i];
a[Si] + a[Si+1] + ... + a[Si+ni] = s[Si+ni] - s[Si-1]；
所以由题意有：
①s[Si+ni] - s[Si-1] > ki
或②s[Si+ni] - s[Si-1] < ki
由于只是检验是否有解，所以最短路或最长路都可用，以下是最短路要建立的关系：
把①化为：[color=red]s[si-1] - s[si+ni] <= - ki - 1[/color]
把②化为：[color=red]s[si+ni] - s[si-1] <= ki - 1[/color]

[color=green]第四题：【ZOJ 1455/HDU 1534 Schedule Problem】[/color]
[url]http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1455[/url]
设第i项工作持续时间为v[i]，开始时间s[i]，那么结束时间就是s[i]+v[i]
[color=red]SAS: s[a] >= s[b] ---> s[a] - s[b] >= 0
FAS: s[a] + v[a] >= s[b] ---> s[a] - s[b] >= -v[a]
SAF: s[a] >= s[b] + v[b] ---> s[a] - s[b] >= v[b]
FAF: s[a] + v[a] >= s[b] + v[b] ---> s[a] - s[b] >= v[b] - v[a][/color]
直接最长路建图就可以了

[color=green]第五题：【HDU 3440 House Man】[/color]
[url]http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3440[/url]
[color=blue]此题难度仅次于第二题，需要深刻理解差分约束[/color]
题意：按照序号从左往右放置房子，求最后从低到高跳到所有房子的【[color=red]最大总水平路程[/color]】
设s(b) - s(a) <= K(一个常数)表示【设a，b为序号】：
b到a的距离 <= K，但是必须定一个规则，a在左边还是b在左边？
这里设a，b是x轴上的点，再设b > a
所以这样的情况下规则就是：【[color=red]s(序号大的) - s(序号小的)[/color]】才表示：【[color=red]b到a之间的距离[/color]】这个意义
当然可以设另一种规则---【序号小-序号大】表示距离---，总之要一致！
按照第一种规则有以下关系：
①位置相邻：
[color=red]s(i) - s(i-1) >= 1 ---> s(i-1) - s(i) <= -1[/color]
②高度相邻(排序后)：【num表示a[i]这间房子的序号】
[color=red]s([/color]max[color=red](a[i].num,a[i-1].num))-s([/color]min[color=red](a[i].num,a[i-1].num)) <= D[/color]
建图后只要这样：
[color=violet]spfa (min (a[1].num, a[n].num));
printf ("%d\n", dist[max (a[n].num, a[1].num)]);[/color]
答案就出来了
另外推荐这种方法！比较简单：[url]http://hi.baidu.com/tju_ant/blog/item/f22fe6d92809033833fa1c08.html[/url]

[color=green]第六题：【HDU 3592 World Exhibition】[/color]
[url]http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3592[/url]
按照题目明显条件建立关系式立刻水过
但是我觉得它数据很水……
题目说：Assume that there are N (2 <= N <= 1,000) people numbered 1..N who are [color=red]standing in the same order as they are numbered[/color]
也就是说人是按序号排的啊
那应该还有一个约束条件才对吧：s(i) - s(i-1) >= 0;
就像这组数据：
1
3 2 1
1 2 1
1 3 2
2 3 3
要按序号排队不可能满足，应该输出-1
总之要不要这个约束条件都能AC……[color=orange]我特么的彻底无语了[/color][img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/564384/e0b579af-6ce9-3268-b6f7-834d133d19fe.gif[/img]


[color=green]第七题：【HDU 3666 THE MATRIX PROBLEM】[/color]
[url]http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3666[/url]
[color=blue]这题spfa用队列卡数据容易超时，用栈吧……[/color]
由题意得对于矩阵每个元素【设为w，[color=red]处于矩阵第i行，第j列[/color]】
L <= w*a[i]/b[j] <= U
两边取对数有：
lg(L) <= lg(w)+lg(a[i])-lg(b[j]) <= lg(U)
按照最长路整理得【也可以用最短路】：
[color=red]①lg(a[i])-lg(b[j]) >= lg(L)-lg(w)；②lg(b[j])-lg(a[i]) >= lg(w)-lg(U)[/color]
把a和b数组合并成一个数组s得【a有n个元素，b有m个元素，这里把b接在a数组后面】：
[color=red]①s(i) - s(j+n) >= lg(L) - lg(w)
②s(j+n) - s(i) >= lg(w) - lg(U)[/color]
最后加个超级起点即可
我把0作为超级起点：
[color=violet]for (i = 1; i <= n + m; i++)
addedge (0, i, 0);
spfa (0); [/color]
[/size][/b]

[b][size=medium]最后弱弱的献上第二题代码：[/size][/b]

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
#define M 25

struct edge{
    int v, w, next;
}e[5*M];
bool inq[M];
int dist[M], pre[M], n = 24, cnt, ind[M];

void init ()
{
    memset (pre, -1, sizeof(pre)); cnt = 0;
}
void addedge (int u, int v, int w)
{
    e[cnt].v = v; e[cnt].w = w; e[cnt].next = pre[u]; pre[u] = cnt++;
}
bool spfa (int u)
{
    int i, v, w;
    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        dist[i] = -inf;
        inq[i] = false;
        ind[i] = 0;
    }
    queue<int> q;
    q.push (u);
    inq[u] = true;
    dist[u] = 0;
    while (!q.empty())
    {
        u = q.front();
        if (++ind[u] > n)
            return false;
        q.pop();
        inq[u] = false;
        for (i = pre[u]; i != -1; i = e[i].next)
        {
            v = e[i].v;
            w = e[i].w;
            if (dist[u] + w > dist[v])
            {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!inq[v])
                {
                    q.push (v);
                    inq[v] = true;
                }
            }
        }
    }
	return true;
}

int main()
{
	int t, R[M], num[M], i, pos, m, l, r, ans;
	scanf ("%d", &t);
	while (t--)
	{
		for (i = 1; i <= n; i++)
			scanf ("%d", R+i);
		scanf ("%d", &m);
		memset (num, 0, sizeof(num));
		for (i = 0; i < m; i++)
		{
			scanf ("%d", &pos);
			num[pos+1]++;
		}
		l = 0, r = m;
		bool flag = true;
		while (l < r)		//二分枚举ans
		{
			init();
			ans = (l+r) / 2;
			for (i = 1; i <= n; i++)
			{
				addedge (i-1, i, 0);			//s[i] - s[i-1] >= 0
				addedge (i, i-1, -num[i]);		//s[i-1] - s[i] >= -num[i]
			}
			for (i = 8; i <= n; i++)
				addedge (i-8, i, R[i]);			//s[i] - s[i-8] >= R[i]
			for (i = 1; i < 8; i++)
				addedge (i+16, i, R[i]-ans);	//s[i] - s[i+16] >= R[i] - ans
            addedge (0, 24, ans);			    //s[24] - s[0] >= ans
			if (spfa (0))
				r = ans, flag = false;
			else l = ans + 1;
		}
		if (flag)
			puts ("No Solution");
		else printf ("%d\n", r);
	}
    return 0;
}