欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

C++二进制完成加减乘除

程序员文章站 2022-07-15 09:58:54
...

首先介绍计算机的二进制码

二进制常用的有原码,反码和补码,他们都是由最左边的一个符号位和右边的数值位构成。在计算机中为了更低成本的计算,数据都是用补码来存储和运算的。

原码

最高位表示符号位(0代表正数,1代表负数)。剩下的位数,是这个数的绝对值的二进制。

比如 一个int变量大小为4字节,在32位的编译器中的二进制表示就是00000000000000000000000000000000
那么10 的原码就是00000000000000000000000000001010
10的原码就是 10000000000000000000000000001010

反码

正数的反码和其原码是一样的
负数的反码就是在其原码的基础上 符号位不变 其他位取反。

10的反码就是00000000000000000000000000001010 和原码一样
10的反码就是11111111111111111111111111110101

补码

正数的补码就是其原码
负数的补码就是在其反码的基础上+1

10的补码就是00000000000000000000000000001010
10的补码就是 11111111111111111111111111111011

总结一下

计算机系统中,数值一律用补码来表示:因为补码可以使符号位和数值位统一处理,同时可以使减法按照加法来处理。
二进制编码:数值编码分为原码,反码,补码,符号位均为0正1负。

原码 -> 补码: 数值位取反加1

补码 -> 原码: 对该补码的数值位继续 取反加1

补码 的绝对值(称为真值):正数的真值就是本身,负数的真值是各位(包括符号位)取反加1(即变成原码并把符号位取反).

介绍基本的位操作

^:按位异或;&:按位与; | :按位或
b -> -b : 各位(包括符号位)取反加1

用位操作实现加法运算

我们先不考虑进位,在1位数的加法上,如下
1. 1+1=0
2. 1+0=1
3. 0+1=1
4. 0+0=0
很明显上面几个表达式我们可以用异或进行统一
1. 1^1=0
2. 1^0=1
3. 0^1=1
4. 0^0=0
这样我们就完成了最基础的一位数的加法,但是怎么计算二位以上的加法呢?我们发现现在方法的问题在于不能够获取进位,于是我们通过观察一位数的加法的式子,发现只有两个数位都是1的时候才会有进位,其他都不进位,这不是和&很像吗? 我们通过把+换成&得到下式
1. 1&1=0 不进位
2. 1&0=1 不进位
3. 0&1=1 不进位
4. 0&0=0 进位
那么我们把所有位进行&操作,然后<<左移一位,不就可以当作加数当前的进位吗?
到这里我们就完整解决了二进制相加问题中,对应位的相加和进位的问题
1. x^y 加法
2. (x&y)<<1 进位操作
那么总结一下:

定理1:设ab为两个二进制数,则a+b=a^b+(a&b)<<1
证明:

a^b是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为1时,才有进位,因此 (a&b)<<1是进位产生的值,称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。

定理2:使用定理1可以实现只用位运算进行加法运算。
证明:

利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次,进位补偿右边就多一位0,因此最多需要加数二进制位长度次迭代,进位补偿就变为0,这时运算结束。

那么我们可以根据上面的定理得到实际的C++代码如下

int add(int a, int b){
    int re = a;
    while(b){
        int tmp = a;
        a = a^b;
        b = (tmp&b)<<1;
        re = a;
    }
    return re;
}

用位操作实现减法

减法和加法原理相同,减去一个数相当于加上这个数的相反数,所以完全可以利用加法操作,唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
求相反数的方法:每一位取反,末位加一。
代码如下:

int subtraction(int a, int b)
{
    b = add(~b,1); // 求b的相反数
    return add(a, b);
}

用位操作实现乘法

二进制的乘法同十进制的乘法并无什么不一样,对于ab每次只需要将a左移对应的位,然后同上一次的结果相加即可
当b的对应位为1的时候,对a左移一位相加即可
当b的对应位位0的时候,对a左移一位,但是不相加
注意到我们上面的操作都是不包括符号位的,因此我们单独考虑符号位。
代码如下

int getSign(int n)
{
    unsigned count = 0;
    //计算n的位数
    do{
        ++count;
    }while(n >> count)
    //得到n的最左边的位
    return n >> (count-1);
}

int mul(int a, int b){
    bool isNegative = false;
    if(getSign(a) ^ getSigned(b))
        isNegative = true;
    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
    int res = 0;
    while(b){               //当b不为0,继续循环
        if(b & 1)           //当b当前位为1 才需要加a
            res = add(res,a);
        a = a << 1;
        b = b >> 1;
    }
    if(isNegative)
        add(~res,1);
    return res;
}

二进制除法

同乘法一样,除法一样可以用减法来代替,当ab才可以上商,在每次上一个商(也就是商值加1)之后,a=ab
代码如下

int divide(int a, int b){
    if(!b)
        throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");
    bool isNegative = false;
    bool isNegtive = false;
    if(getSign(a) ^ getSign(b))
        isNegtive = true;
    if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
    if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
    int res = 0;
    while(a >= b){
        res = add(res,1);
        a = subtraction(a,b);
    }
    if(isNegative)
        add(~res,1);
    return res;
}