Java二进制的加减乘除

    引子

    某天研究 fail-fast机制的时候，去看了看hashCode的实现方式，然后发现每个对象的实现都不一样；于是研究一个String的；于是看到公式：

s[0]*31^(n-1) + s[1]*31^(n-2) + ... + s[n-1]

于是很不解，这个公式很明显会溢出(超过2^32)，尝试了几次发现系统会输出hashCode为负数的值，就默默地去回顾一下二进制的加减乘除

准备工作：

-2 = 0xfffffffe
-1 = 0xffffffff
0 = 0x0
1 = 0x1
2 = 0x2
max = 0x7fffffff = 2147483647
min = 0x80000000 = -2147483648

正数与二进制的相互转换，就是简单的二进制与十进制的相互转换

负数与二进制的相互转换：

1)二进制 -> 负数 ：0x80000000  取反  0x7fffffff(2147483647)  忽略符号加一 (2147483648)  结果(-2147483648)

2)负数 -> 二进制 ：-2147483648 忽略符号减一(-2147483647[0x7fffffff])   取反(0x80000000) 结果(0x80000000)

PS：以上就是专业术语"补码"的含义，而补码存在的意义在于：让所有的加法能够使用同一种电路完成

接下来就是四则运算：加减乘除

1，加法[全加器]

案例一：

3 + 5 = 8
==>
  0 0 1 1  -> 3
+ 0 1 0 1  -> 5
----------
= 1 0 0 0  -> 8

因此可以看出，二进制之间的加法就是，和小学学的十进制的"尾数相加，然后进位

案例二：

1 + -1(0x7fffffff) = 0
==>
 ?_ 0 0 ... 1  -> 1
+?_ 1 1 ... 1  -> -1
--------------
=1_ 0 0 ... 0  -> 0

因此可以看出，二进制之间的加法，最高位表示的不是具体的数值，进位之后应该被舍去

2，减法[全加器]

减法可以实现的方案：1)类似十进制的减法直接去位 2)减法就是另类的加法

而计算机采用的是，方法2，原因：直接可以使用全加器

例如：a - b = a + (-b)

而通过之前的准备可以看出：二进制中，b的负数就是b的补码

因此，0xa - 0xb = 0xa + 0xb(补码[取反，忽略符号加一])

3，乘法[乘法器,芯片]

乘法可以实现方案：1)类似十进制的乘法 2)多个加法

而计算机采用的是，方法1，原因：多个加法的算法复杂度成二次方增长

案例一：

3 * 5 = 15
==>
0 0 1 1 -> 3
* 0 1 0 1 -> 5
-------------
0 1 0 1 -> 5
+ 0 1 0 1 -> 10
-------------
1 1 1 1 -> 15

PS:

1)如果有符号，符号位另算，即：同号得正，不同号得负原则

2)如果有位数移除，则高位直接舍去，然后得出剩下的二进制对应的值

4，除法[芯片]

除法可以实现方案：1)类似十进制的除法 2)多个减法，直到负数

而计算机采用的是，方法1，原因：多个减法的算法复杂的成二次方增长

14 / 3 = 4 余 2
14(1110[被除数])、3(11[除数])、4([结果])、2([余数])
==>
1 0 0 --> 结果[4]
-----------
1 1 / 1 1 1 0
---------------
1 1
---------------
0 1
---------------
1 0
---------------
1 0 --> 余数[2]

PS:

1)如果有符号，符号位另算，即：同号得正，不同号得负原则

回顾之前的问题，公式溢出问题：

s[0]*31^(n-1) + s[1]*31^(n-2) + ... + s[n-1]

就很容易解释了，

1，31^(n-1)的结果，高位会被省去

2，加法结果的结果，高位会被省去，这也是为什么会计算出负数的原因