Open3d学习计划——高级篇 8（网格变形）

如果我们想使用少量的约束使得三角网格变形，得使用相应的网格变形算法。Open3d实现了[SorkineAndAlexa2007] 中的尽可能严格的算法，以优化下面的能量函数：
∑ i ∑ j ∈ N ( i ) w i j ∣ ∣ ( p i ′ − p j ′ ) − R i ( p i − p j ) ∣ ∣ 2 \sum_{i}\sum_{j∈N(i)} w_{ij}||(p_{i}^{'}-p_{j}^{'})-R_{i}(p_{i}-p_{j})||^2 i∑​j∈N(i)∑​wij​∣∣(pi′​−pj′​)−Ri​(pi​−pj​)∣∣2
这里的 R i R_{i} Ri​表示 我们要优化的旋转矩阵， p i p_{i} pi​和 p j p_{j} pj​分别表示优化前后的顶点位置。 N ( i ) N(i) N(i)表示顶点 i i i的邻域集合。权重 w i j w_{ij} wij​表示余切权重（cot weights）。

Open3d实现的算法的接口是deform_as_rigid_as_possible。这个算法的第一个参数是一组constraint_ids，他是引用的三角网格的顶点。第二个参数constrint_pos定义了这些顶点优化后的位置。因为这个优化过程是一个迭代的过程，所以我们也能通过max_iter定义迭代次数。

mesh = o3dtut.get_armadillo_mesh()

vertices = np.asarray(mesh.vertices)
static_ids = [idx for idx in np.where(vertices[:, 1] < -30)[0]]
static_pos = []
for id in static_ids:
    static_pos.append(vertices[id])
handle_ids = [2490]
handle_pos = [vertices[2490] + np.array((-40, -40, -40))]
constraint_ids = o3d.utility.IntVector(static_ids + handle_ids)
constraint_pos = o3d.utility.Vector3dVector(static_pos + handle_pos)

with o3d.utility.VerbosityContextManager(o3d.utility.VerbosityLevel.Debug) as cm:
    mesh_prime = mesh.deform_as_rigid_as_possible(
            constraint_ids, constraint_pos, max_iter=50)

print('Original Mesh')
R = mesh.get_rotation_matrix_from_xyz((0,np.pi,0))
o3d.visualization.draw_geometries([mesh.rotate(R, center=mesh.get_center())])
print('Deformed Mesh')
mesh_prime.compute_vertex_normals()
o3d.visualization.draw_geometries([mesh_prime.rotate(R, center=mesh_prime.get_center())])

Original Mesh

Deformed Mesh

Smoothed ARAP

Open3d实现了ARAP目标的平滑版本，定义为：
∑ i ∑ j ∈ N ( i ) w i j ∣ ∣ ( p i ′ − p j ′ ) − R i ( p i − p j ) ∣ ∣ 2 + α A ∣ ∣ ( R i − R j ) ∣ ∣ 2 \sum_{i}\sum_{j∈N(i)} w_{ij}||(p_{i}^{'}-p_{j}^{'})-R_{i}(p_{i}-p_{j})||^2+αA||(R_{i}-R_{j})||^2 i∑​j∈N(i)∑​wij​∣∣(pi′​−pj′​)−Ri​(pi​−pj​)∣∣2+αA∣∣(Ri​−Rj​)∣∣2
这惩罚相邻旋转矩阵的偏差，α 是正则项的权衡参数，A是表面积。
通过将参数energy和Smoothed一起使用，可以在deform_as_rigid_as_possible中使用这个平滑目标。

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