线性代数 相似矩阵

一.相似矩阵
1.相似矩阵(Similar Matrix):

如果存在可逆矩阵M_n,使B_n=M_n^{-1}·A_n·M_n,则称A_n与B_n相似,记为A_n~B_n

#示例:S为特征向量构成的矩阵,Λ为特征值构成的对角矩阵
S^{-1}·A·S=Λ⇒A~Λ

#性质:
1.A~B,B~C⇒A~C
2.A~B⇒A与B的特征值相同
  Ax=λx⇒A·M·M^{-1}x=λx⇒M^{-1}·A·M·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒B·M^{-1}x=λM^{-1}x⇒Bx'=λx'
#注意:A与B的特征向量不同,除非A=B
#逆命题仅在特征值不重复的情况下成立(否则可能无法对角化)

2.若尔当标准型(Jordan):