线性代数基础

线性代数

向量

1.线性相关与线性无关

• 向量组线性相关

存在一组不全为的实数，使得：

即至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

• 向量组线性无关

当且仅当时，才有：

即存在一个向量，其不能等于向量组内任意向量，可由向量组内向量进行唯一的线性表示。

2. 向量空间的维数

一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数据，称为向量空间的维数。

3. 向量的点积（内积）

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = u.dot(v)
uv = np.dot(u, v)
uv

32

4. 三维向量的叉积（外积）

其中， 为轴的单位向量。

• 和 的叉积垂直于构成的平面，其方向符合右手规则；

• 叉积的模等于构成的平面四边形的面积；

• ；

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = np.cross(u, v).sum()
uv

0

5. 三维向量的混合积

• 其物理意义为：以为三个棱边所围成平行六面体的体积。当构成右手系时，该平行六面体的体积为正号。

6. 三维向量的并矢积

也记作 或者

import numpy as np

u, v = np.array([1, 2, 3]), np.array([4, 5, 6])

uv = np.outer(u, v)
uv

array([[ 4,  5,  6],
       [ 8, 10, 12],
       [12, 15, 18]])

7. Gram - Schmidt正交化

设 是 中的一个线性无关向量组，若令

则就是一个正交向量组，若再令

就得到一个标准正交向量组 ，且该向量组与 等价。

import numpy as np

A = np.array([[1,1,6],  ## numpy.linalg 是对列向量进行标准正交化
              [1,2,4],
              [1,3,2]])

q, r = np.linalg.qr(A)
q, r

(array([[-5.77350269e-01,  7.07106781e-01,  4.08248290e-01],
        [-5.77350269e-01,  5.55111512e-17, -8.16496581e-01],
        [-5.77350269e-01, -7.07106781e-01,  4.08248290e-01]]),
 array([[-1.73205081, -3.46410162, -6.92820323],
        [ 0.        , -1.41421356,  2.82842712],
        [ 0.        ,  0.        ,  0.        ]]))

矩阵

1. 矩阵的运算

• 加法 ， 都为矩阵

• 数乘

• 乘积

• 点乘（阿达马积）

• 克罗内克积

2.

，转置；
，矩阵的逆；
，伴随矩阵。

反矩阵

---

• 若矩阵可逆，则

• 若为阶方阵，则

import numpy as np

A = np.mat(np.random.randint(10, size = (3,3)))
A = np.mat([[-3, 2, -5], [-1, 0, -2], [3, -4, 1]])
print(A)
print(A.T) # 转置
print(A.I) # 逆
print(np.linalg.det(A)) # 行列式
print(np.dot(np.linalg.det(A), A.I)) # 伴随矩阵

[[-3  2 -5]
 [-1  0 -2]
 [ 3 -4  1]]
[[-3 -1  3]
 [ 2  0 -4]
 [-5 -2  1]]
[[ 1.33333333 -3.          0.66666667]
 [ 0.83333333 -2.          0.16666667]
 [-0.66666667  1.         -0.33333333]]
-6.0
[[-8. 18. -4.]
 [-5. 12. -1.]
 [ 4. -6.  2.]]

3. 矩阵的秩

• 初等变换不改变矩阵的秩

• ，特别当，则：

• 若存在，则；若存在，则；若，则；若，则

• 只有零解

import numpy as np
A = np.array([[1, 1], [2, 2]]) # rank = 1
# A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # rank = 2
A_rank = np.linalg.matrix_rank(A)
A_rank

1

4. 特征值与特征向量

• 设为阶矩阵，若存在常数和维非零向量，使得

• 设是的一个特征值，则 特征值 ， 特征值 ， 特征值 ， 特征值 ， 特征值 ， 特征值 ， 特征值 ， 特征值

• 若为的个特征值，则

• 设为的个特征值，对应特征向量为，若，则

import numpy as np

A = np.mat([[-1, 1, 0], [-4, 3, 0], [1, 0, 2]])
eigenvalue, featurevector = np.linalg.eig(A)
eigenvalue, featurevector

(array([2., 1., 1.]), matrix([[ 0.        ,  0.40824829,  0.40824829],
         [ 0.        ,  0.81649658,  0.81649658],
         [ 1.        , -0.40824829, -0.40824829]]))

5. 相似矩阵

• 设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是的相似矩阵, 并称矩阵与相似，记为。
  对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。