【组合计数】[JZOJ4391] 装饰

Description

Solution

考虑将原问题转化
一列2个格子一定不同，那么我们用这一列没有出现的那个颜色代表这一列。
那么我们得到了一个新的长度为M的序列，容易发现一个序列会且仅会对应两个原来的方格图（上下颠倒），第三个条件就告诉我们这个序列相邻两个颜色不能相同，并且序列中红色有M-R个，绿色有M-G个，蓝色有M-B个

问题转化为有三种颜色，每种颜色有一定数量，求构成的序列数，要求相邻不能相同。

考虑先把一种颜色固定下来，再用另外两种颜色往里面放。
枚举序列第一个颜色是什么，那么我们必须要用另两种颜色将第一个颜色位置隔开

设我们枚举的这个颜色有X个，它将这个序列分割成了非空的X段或X-1段，另外两种颜色分别有Y个和Z个
考虑每一段中怎么放，如果这一段长度为偶数，那么用的另外两种颜色数目相同，长度确定时有两种不同的放法（看哪个颜色开头）。
如果这一段长度为奇数，那么一种颜色数目比另一种颜色数目多1，长度确定时只有一种放法。

不妨枚举有多少段长度为偶数，那么奇数的段数可以根据奇偶性直接计算出来

因为每一段必须非空，因此偶数长度段必须两种颜色都至少有一个，设枚举有t段长度为偶数，算出k段为奇数
因为两种颜色数目差已知，奇数段数也已知，可以解二元一次方程解出每种颜色多的段数分别有多少
分别设为c1与c2
则剩余的*颜色数为Y-t-c1，Z-t-c2

剩下的颜色必然是成对成对放了，两种颜色数目相同
，用可以空的隔板法可知，这样的方案数是(Y−t−c1+t+k−1t+k−1)$(\genfrac{}{}{0ex}{}{Y-t-c1+t+k-1}{t+k-1})$
k段奇数段有c1段是Y颜色多的，那么是(kc1)$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{c_1})$
t+k段，有t段为偶数，是(t+kt)$(\genfrac{}{}{0ex}{}{t+k}{t})$
t段偶数段，每段都有两种放法，那么是2t$2^t$
全部乘起来就是了。

注意最后答案还要乘以2

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 2000005
#define LL long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n,a[3];
LL js[N],ny[N],cf[N];
LL zh(LL n,LL m)
{
    if(n==-1&&m==-1) return 1;
    if(n<m) return 0;
    return js[n]*ny[m]%mo*ny[n-m]%mo;
}
int main()
{
    cin>>n>>a[0]>>a[1]>>a[2];
    js[0]=ny[0]=js[1]=ny[1]=1;
    cf[0]=1,cf[1]=2;
    fo(i,2,2*n)
    {
        cf[i]=cf[i-1]*(LL)2%mo;
        js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo;
        ny[i]=(-ny[mo%i]*(LL)(mo/i)%mo+mo)%mo;
    }
    fo(i,2,2*n) ny[i]=ny[i-1]*(LL)ny[i]%mo;
    fo(i,0,2) a[i]=n-a[i];
    LL s=0;
    fo(i,0,2)
    {
        swap(a[i],a[0]);
        LL s1=0;
        for(int j=0;j<=a[0];j++)
        {
            int k=a[0]-j;
            if(k%2!=(a[1]+a[2])%2) k--;
            if(k<0) break;
            int c1=(k+a[1]-a[2])/2,c2=(k+a[2]-a[1])/2;
            if(c1<0||c2<0) continue;
            s1=(s1+zh(k,c1)*zh(a[1]-j-c1+j+k-1,j+k-1)%mo*zh(j+k,k)%mo*cf[j]%mo)%mo;
        }
        s=(s+s1)%mo;
    }
    printf("%lld\n",s*(LL)2%mo);
}