欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  IT编程

[计数dp][组合数] JZOJ P1975 连边

程序员文章站 2022-07-02 14:22:35
Description 有N个点(编号1到N)组成的无向图,已经为你连了M条边。请你再连K条边,使得所有的点的度数都是偶数。求有多少种连的方法。要求你连的K条边中不能有重边,但和已经连好的边可以重。不允许自环的存在。求连边的方法数。我们只关心它模10007的余数。 Description 有N个点( ......
Description   有N个点(编号1到N)组成的无向图,已经为你连了M条边。请你再连K条边,使得所有的点的度数都是偶数。求有多少种连的方法。要求你连的K条边中不能有重边,但和已经连好的边可以重。不允许自环的存在。求连边的方法数。我们只关心它模10007的余数。   Input   输入的第一行有三个自然数,分别表示点数N,已经连好的边数M,和你要连的边数K。保证K≤N(N-1)/2
  接下来M行每行两个整数x,y,描述了一条连接x和y的边。
  30%的数据满足:N≤200
  100%的数据满足:N≤1000,M≤N,K≤1000,K≤N(N-1)/2 Output   输出一个整数,表示连边的方法数模10007的余数   Sample Input
5 1 4
1 2
Sample Output
13
Hint 【样例说明】
以下是13种连边的方法(只显示你连的边):
{(1,2),(1,3),(1,4),(3,4)}
{(1,2),(1,3),(1,5),(3,5)}
{(1,2),(1,4),(1,5),(4,5)}
{(1,2),(2,3),(2,4),(3,4)}
{(1,2),(2,3),(2,5),(3,5)}
{(1,2),(2,4),(2,5),(4,5)}
{(1,2),(3,4),(3,5),(4,5)}
{(1,3),(2,4),(3,5),(4,5)}
{(1,3),(2,5),(3,4),(4,5)}
{(1,4),(2,3),(3,5),(4,5)}
{(1,4),(2,5),(3,4),(3,5)}
{(1,5),(2,3),(3,4),(4,5)}
{(1,5),(2,4),(3,4),(3,5)} 题解

设f(i,j)表示用i条边,使得j个点的度数为奇数的情况下连边的方法数。注意到所有的状态共用一个N。

首先,分类讨论第i条边连接的点的度数的奇偶性。

如果它连着两个奇数点,那么原来那两个点的度数是偶数,总奇数点个数比现在少2;

如果这条边连接的点是一奇一偶,那么奇数点的个数不变。

如果连接着两个偶数点,那么原来这两个点都是奇数点,总奇数点的个数比现在多2。

通过枚举这条边连接的两个点的奇偶情况,f(i,j)可以分别转移到 f(i-1,j)*(N-j)*j,f(i-1,j-2)*C(j,2),f(i-1,j+2)*C(N-j,2)

注意到这样转移的话无法保证没有重边。于是,让我们考虑第i条边和之前的第a条边重复的情况。a有i-1种取值。除去第i条和第a条边,所有的点的度数的奇偶性不变,于是问题转化为f(i-2,j)。这样,我们知道了第i条边和之前的某些边重复的方法数是f(i-2,j)*(i-1)*C(N,2)

于是,总的转移方程是

f(i,j)=f(i-1,j)*(N-j)*j+f(i-1,j-2)*C(j,2)+f(i-1,j+2)*C(N-j,2)-f(i-2,j)*(i-1)*C(N,2)

答案就是f(K,A)/K!

转移的时候要注意取模以及边界情况的讨论

代码
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 int du[1001],cnt,n,m,k,mo=10007;
 7 long long f[1001][1001],a[1001];
 8 long long C(int x){ if (x<2) return 0; return (x-1)*x/2; }
 9 int main()
10 {
11     cin>>n>>m>>k;
12     a[0]=1;a[1]=1;
13     for (int i=2;i<=1000;i++) a[i]=(mo-mo/i)*a[mo%i]%mo;
14     for (int i=1;i<=m;i++)
15     {
16         int u,v;
17         scanf("%d%d",&u,&v);
18         du[u]++;du[v]++;
19     }
20     for (int i=1;i<=n;i++) if (du[i]%2==1) cnt++;
21       f[0][cnt]=1;
22       for (int i=1;i<=k;i++)
23         for (int j=0;j<=n;j++)
24         {
25               if (j>=2) f[i][j]+=f[i-1][j-2]*C(n-j+2)%mo;
26               f[i][j]%=mo;
27               if (j+2<=n) f[i][j]+=f[i-1][j+2]*C(j+2)%mo;
28               f[i][j]%=mo;
29               f[i][j]+=f[i-1][j]*j*(n-j)%mo;
30               f[i][j]%=mo;
31               if (i>=2) f[i][j]-=f[i-2][j]*(C(n)-i+2)%mo;
32             f[i][j]=(f[i][j]+mo)%mo;
33               f[i][j]*=a[i];
34             f[i][j]%=mo;
35         }
36   cout<<f[k][0];
37 }