洛谷P2606 [ZJOI2010]排列计数(组合数 dp)

题意

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称一个1,2,...,n的排列p1,p2...,pn是magic的，当且仅当2<=i<=n时，pi>pi/2. 计算1，2，...n的排列中有多少是magic的，答案可能很大，只能输出模p以后的值

sol

这辈子做不出的计数系列。

一眼小根堆没啥好说的。最关键的一点是：树的形态是可以递推出来的。

那么当前点$i$为根节点，大小为$siz[i]$，左/右儿子分别为$ls, rs$

那么$f[i] = c_{siz[i] - 1}^{siz[ls]} f[ls] \times f[rs]$

lucas定理算组合数

#include<cstdio>
//#define int long long 
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int n, p, fac[maxn] = {1}, ifac[maxn], siz[maxn], f[maxn];
int fastpow(int a, int p, int mod) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = (1ll * base % mod * a % mod) % mod;
        a = (1ll * a % mod * a % mod) % mod; p >>= 1;
    }
    return base % mod;
}
int c(int n, int m, int p) {
    if(m > n) return 0;
    return 1ll * fac[n] % p * ifac[m] % p * ifac[n - m] % p;
}
int lucas(int n, int m, int p) {
    if(!n || !m) return 1;
    return lucas(n / p, m / p, p) * c(n % p, m % p, p);    
}
main() {
    n = read(); p = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % p;
    ifac[n] = fastpow(fac[n], p - 2, p);
    for(int i = n; i >= 1; i--) ifac[i - 1] = 1ll * i * ifac[i] % p;
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
        siz[i] = 1;
        int ls = (i << 1), rs = (i << 1 | 1);
        if(rs <= n) siz[i] += siz[ls] + siz[rs], f[i] = 1ll * lucas(siz[i] - 1, siz[ls], p) * f[ls] % p * f[rs] % p;    
        else if(ls <= n) siz[i] += siz[ls], f[i] = f[ls];
        else f[i] = 1;
    }
    printf("%d", f[1]);
    return 0;
}
/*
999999 1000000007
*/