长乐国庆集训Day2

t1 连珠风暴

题目

【题目描述】

给定m种颜色的珠子，每种颜色珠子的个数均不限，将这些珠子做成长度为n的项链。

问能做成多少种不重复的项链。两条项链相同，当且仅当两条项链通过旋转或是翻转后能重合在一起，且对应珠子的颜色相同。

【输入格式】

一行两个整数分别表示m,n。

【输出格式】

一行一个整数表示答案。

【输入样例】

2 5

【输出样例】

8 

【数据规模】

对于30%的数据，n,m≤4；

对于60%的数据，n,m≤5；

对于100%的数据，nm≤32。

解析

nm≤32，可以直接暴力ac。

正解貌似是polya定理。

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int m,n,ans;
int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    //freopen("necklace.in","r",stdin);
    //freopen("necklace.out","w",stdout);
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=pow(m,gcd(n,i));
    if(n&1) ans+=n*pow(m,(n+1)/2);
    else ans+=(n/2)*pow(m,(n+2)/2)+(n/2)*pow(m,n/2);
    cout<<ans/(n*2);
    return 0;
}

 

 

 

 

 

t2 种树

题目

【题目描述】

fanvree很聪明，解决难题时他总会把问题简单化。例如，他就整天喜欢把图转化为树。但是他不会缩环，那他怎么转化呢？

这是一个有n个点m条双向边的图，fanvree会选定一个节点，然后删掉这个节点和这个点连出去的边，如果变成了一棵树，那么这个节点便是可行的，什么是树呢？树也即无简单环的无向连通图。

告诉fanvree可能的节点是什么。

【输入格式】

第一行两个正整数n,m，表示有n个点m条边。保证n≥2。

接下来m行，每行两个整数v,u，表示v和u之间有一条无向边1≤v,u≤n。保证没有重边和自环。

【输出格式】

第一行一个正整数 ns，表示这个图中有 ns 个结点可选。

接下来一行，共 ns 个整数，每个整数表示一个可选结点的编号。请按编号从小到大的顺序输出。

数据保证图中至少存在一个可选的结点。

【输入样例】

6 6
1 2
1 3
2 4
2 5
4 6
5 6

【输出样例】

3
4 5 6

【数据规模】

对于40%的数据，n,m≤1000；  

另存在10%的数据，m=n-1；

另存在20%的数据，m=n；

对于100%的数据，n,m≤100000。

解析

可选的点必然不是割点。

选好点后，如果图是连通的，且剩余边数刚好为n-2，那么这个点就是可选的。

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
const int n=100010;
int n,m,head[n],ver[n<<1],next[n<<1],tot,deg[n],ans,dfn[n],low[n],cnt,anss[n],cut[n];
void add(int x,int y)
{
    ver[++tot]=y;
    next[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void tarjan(int x)
{
    int child=0;
    dfn[x]=++cnt,low[x]=cnt;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if(!dfn[y])
        {
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if(low[y]>=dfn[x]&&x!=1) cut[x]=1;
            if(x==1) child++;
        }
        low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(child>=2) cut[x]=1;
}
int main()
{
    cin>>n>>m; 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y),add(y,x);
        deg[x]++,deg[y]++;
    }
    tarjan(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!cut[i]&&deg[i]==m-n+2)
        {
            ans++;
            anss[ans]=i;
        }
    if(ans==0)
    {
        cout<<-1;
        return 0;
    }
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<=ans;i++) cout<<anss[i]<<" ";
    return 0;
}

 

 

 

 

 

t3 序列

题目

【题目描述】

fiugou想要在一个长度为n的序列a中找到不同位置的三个数，以这三个数为三边长来构成一个三角形。但是它希望在满足条件下，这三个数的位置尽量靠前。

具体地，设这三个数的为a_i,a_j,a_k(i<j<k)，fiugou希望k尽量小；当k相等时，满足j尽量小；当k，j均相等时，满足i尽量小。

但是这个序列中的数可能会发生变化。所以fiugou给出了m个操作，形式如下：

1 x y：将a_x改为y；
2：查询最优的合法解，从小到大给出这三个数(而不是位置)。

【输入格式】

第一行一个整数n，代表序列的长度。

第二行有n个整数，代表初始序列。

第三行一个整数m，代表操作的个数。

接下来m行操作，两种操作格式如上所述。

【输出格式】

共m行，每行三个数，从小到大给出。如果不存在，输出-1。

【输入样例】

6
7 1 3 4 5 1
3
2
1 3 5
2

【输出样例】

3 5 7
4 5 7

【数据规模】

对于10%的数据，n≤10，m≤5；

对于30%的数据，n≤100，m≤25；

对于50%的数据，n≤1000，m≤1000；

对于100%的数据，n≤100000，m≤1000，1≤a_i≤2×10⁹，1≤x≤n，1≤y≤2×10⁹。

解析

直接暴力模拟即可，注意三角形三边的关系判断与i,j,k的关系判断。

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
inline long long read()
{
    int num=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        num=(num<<1)+(num<<3)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num;
}
int n,m;
long long a[100100];
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    m=read();
    for(int t=1;t<=m;t++)
    {
        int r=read();
        if(r==1)
        {
            int x=read();
            long long y=read();
            a[x]=y;
        }
        else
        {
            bool ok=false;
            for(int k=3;k<=n;k++)
                if(!ok)
                    for(int j=2;j<k;j++)
                        if(!ok)
                            for(int i=1;i<j;i++)
                                if(a[i]+a[j]>a[k]&&a[i]+a[k]>a[j]&&a[j]+a[k]>a[i])
                                {
                                    if(a[i]<a[j])
                                    {
                                        if(a[i]<a[k])
                                        {
                                            cout<<a[i]<<" ";
                                            if(a[j]<a[k]) cout<<a[j]<<" "<<a[k]<<endl;
                                            else cout<<a[k]<<" "<<a[j]<<endl;
                                        }
                                        else cout<<a[k]<<" "<<a[i]<<" "<<a[j]<<endl;
                                    }
                                    else
                                    {
                                        if(a[i]<a[k]) cout<<a[j]<<" "<<a[i]<<" "<<a[k]<<endl;
                                        else
                                        {
                                            if(a[j]<a[k]) cout<<a[j]<<" "<<a[k]<<" ";
                                            else cout<<a[k]<<" "<<a[j]<<" ";
                                            cout<<a[i]<<endl;
                                        }
                                    }
                                    ok=true;
                                    break;
                                }
            if(!ok) cout<<"-1"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

 

t4 礼物

题目

【题目描述】

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生日礼物。

商店里一共有n种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值w_i（每种礼物的喜悦值不能重复获得）。

每次，店员会按照一定的概率p_i（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。

季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也算一次购买。

季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。

求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期望购买次数。

【输入格式】

第一行，一个整数n，表示有n种礼物。

接下来n行，每行一个实数p_i和正整数w_i，表示第i种礼物被拿出来的概率和可以获得喜悦值。

【输出格式】

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。

第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

【输入样例】

3
0.1 2
0.2 5
0.3 7

【输出样例】

14
12.167

【数据规模】

对于10%的数据，n=1；

对于30%的数据，n≤5；

对于100%的数据，n ≤ 20，0<w_i≤10⁹，0<p_i≤1且σp_i≤1。

解析

期望值是什么鬼？

n只有20，可以考虑用状压dp：

设f_s表示已经购买的礼物集合为s时的期望购买次数，则转移方程为：

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int n=(1<<20)+5;
double p[n],f[n];
int n,w[n];
long long ans;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>p[i]>>w[i],ans+=w[i];
    int temp=1<<n;
    for(int i=1;i<temp;i++)
    {
        double pp=0,ff=1;
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(1<<j&i) ff+=f[1<<j^i]*p[j],pp+=p[j];
        f[i]=ff/pp;
    }
    cout<<ans<<endl;
    printf("%.3f",f[temp-1]);
    return 0;
}