sqrt函数实现——二分法、牛顿迭代法
程序员文章站
2022-06-03 12:26:55
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在leetcode练习时,碰到一道经典的面试题,如何实现sqrt()开平方函数。当然,很简单的是调用系统函数,但是难道不能自己实现这个函数的功能吗?于是一番思索和查阅资料,看到下面的方法。
二分法求解
二分法这个应该很熟悉,在二分查找算法中就有具体的体现。应用在此题上,也是合适不过的。
首先分析一下这道题:
实现sqrt函数功能,求一个数的开平方,即求这个函数的非负解。
- 原理
二分法的原理很简单,就是通过缩减区间来确定解的位置。通过图来说明:
- 实现步骤
- 选择区间[a, b],f(a)与f(b)异号。
- 获得区间中值mid,以及f(mid)值。
- 若f(a) * f(mid) < 0,即f(a)与f(mid)异号,取新区间[a, mid]。相反,取区间[mid, b]。
- 重复上两步操作,直到达到类型精度停止。
- 代码实现
int BisectionSqrt(int x)
{
double low = 0, high = x + 0.25, mid = (low + high) / 2;
while (mid - low > DBL_EPSILON && high - mid > DBL_EPSILON) // 精度
{
if ((mid * mid - x) * (low * low - x) < 0)
high = mid;
else low = mid;
mid = (high + low) / 2;
}
return int(mid);
}
注:
初始上界为x + 0.25,而非x。(这一点我不是很懂,希望大佬指点)
牛顿迭代法
看概念:
又称为牛顿-拉弗森方法(英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。
可以看出满足上面的题目分析,可以求得根。
- 原理步骤
选择一个接近函数零点的 ,计算相应的和切线斜率 (这里表示函数 的导数)。然后我们计算穿过点 并且斜率为的直线和轴的交点的x坐标,也就是求如下方程的解:
我们将新求得的点的坐标命名为 ,通常会比 更接近方程 的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
- 图示
将上述的迭代式进行化简:
因为要求的是开平方的解,所以为,同时将带入公式中,可以化简得到: - 代码实现
int NewtonSqrt(int x) {
if (x == 0) return 0;
double result = 1, pre = 0;
while (result != pre)
{
pre = result;
result = (result + x / result) / 2;
}
return int(result);
}
通过查阅的资料,以及在leetcode上的实际提交,发现牛顿迭代法的效率要比二分法高。
具体的效率差异请参考:https://blog.csdn.net/xusiwei1236/article/details/25657611
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